数量关系问题题解题技巧（数量关系解题技巧）

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1.排列、组合、概率与错位公式

2.排列组合概率解题思路——分类法

3.例题1：繁琐的计算导致正确率变低

4.例题2：通过选项思考暴力破解的可能性

5.例题3：极为简单，一半做错的题

6.例题4：分不同情况考虑安排方案

7.例题5：分不同情况考虑安排方案

8.例题6：理解排列组合题的关键

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一、排列、组合、概率与错位公式

「数量关系」板块中的「排列、组合、概率」方面的题目每年必考、国考省考都会考，而此类题的难度一般较高，因此掌握它们的解题方法是非常有必要的。

总体来说，此类题目的公式非常简单，大致只有三个半，即排列公式、组合公式、概率公式和错位排列公式。

（1）排列公式

A（总个数，选出排列的个数）

特点是每个个体有「排列」的独特性，谁先选、谁后选会影响结果。

例如5个人选3个排队，5个项目选3个先后完成，两种情况的运算均为：

A（5，3）=5×4×3=60种方式

（2）组合公式

C（总个数，选出组合的个数）

特点是每个个体没有「排列」的独特性，谁先选、谁后选都不影响结果。

例如5个人选3个参加比赛，5个项目选3个于今年内完成（不要求完成顺序），则运算均为：

C（5，3）=C（5，2）

=5×4÷（1×2）=10种方式

注意C（5，3）一般要转换为C（5，2），其原因是：

C（5，3）=5×4×3÷（1×2×3）=5×4÷2，中间要约去3，因此可能会多花两三秒钟，故要尽量节约时间。

注：排列组合公式很好记忆，由于公考中考察的「排列组合概率」题的数值不会很大，因此在实际考试中，直接在纸上用笔列草稿即可：

总数×（总数-1）×（总数-2）×……

一直让相乘数字的个数达到「选出的个数」，即为排列公式；

再从1开始乘，乘到「选出的个数」，用排列公式得出的结果除以该数即为「组合公式」。

关于「排列组合」，最标准的公式如下：

这两个公式很优美，不过大家实际做题时没必要这么列，毕竟公考中的n和m都不会很大，一边列公式一边约分（尤其是对于组合公式）即可。

只要熟练掌握「排列组合」公式，理解两者的不同，就很容易解出答案。

（3）概率公式

发生某情况的概率=发生该情况的个数／总情况的个数

概率公式极为简单，也很好理解，而「总情况个数」一般也能快速得出，此类题的解题关键是「发生该情况的个数」。

（4）错位排列公式

此类公式只能算「半个公式」，因为它基于排列组合公式，但公式的步骤又很难理解，而且它虽然在公考中出现过，但出现次数极少，因此大家只要记住它的描述和数值即可。

错位排列的描述为「全部错位」，例如：

一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？

上面这道题就是「错位排列」的最初源头，类似描述包括「5个部门5个人员重新分配，都不回到原部门」等。

「错位排列」的数据很好记忆，总共只有3个（用D表示）：

D1= 0，D2= 1，D3=2，D4= 9，

D5= 44，D6= 265，D7= 1854。

D1、D2太小，D7及以上太大，一般不会考；D3可直接从纸上列出情况，很好理解。只要记住D4~D6的结果即可。

二、排列组合概率解题思路——分类法

根据上面的描述可发现，「排列组合」题的公式一点都不难，而且也很好记忆。此类题的难点主要在于「确定其属于什么类别」。

在实际考试中，「排列」「组合」「概率」三者经常结合在一起，往往一道求概率的题，其分情况和总情况都需要用「排列组合公式」去求得结果。

根据公考出现的题目，可将其大致分为以下几类（有时候下面几类会再次结合）：

（1）加法类

求某事物的概率，该事物有多种情况成立，则总概率等于每种情况成立时的概率相加。

求某情况的总数，该情况分为多种分情况，则总情况等于所有情况的和。

（2）乘法类

此类题目的描述和加法类有所类似，区别的关键在于某概率成立／某情况成立时和分概率／分情况的关系。

求某事物的概率，该事物分为多种情况，当所有情况成立时才满足题干要求，则总概率等于每种情况成立时的概率相乘。

求某情况的总数，该情况为多种分情况的总体组合，每种分情况都有自己的个数，则总情况等于所有分情况相乘。

用一个简单例题来区别「加法类」和「乘法类」的区别：

甲乙下棋（没有平局），甲每盘战胜乙的几率为40%，三局两胜，求甲三局后战胜乙的几率。

此时可将其分为「甲3胜」和「甲2胜1负」两种情况，然后将两种情况相加即可，即：

（40%×40%×40%） C（3，1）×（40%×40%×60%）

甲乙下棋（没有平局），甲每盘战胜乙的几率为40%，三局两胜，求甲通过「先输一局、再赢两局」这种方法战胜乙的几率。

此时每盘情况都固定，则结果为：

60%×40%×40%

此类题在没有概率的「排列组合」题中也存在。例如甲乙两个部门选3人参加活动：

如果要求是「分情况」，例如共有「甲1乙2」「甲2乙1」「甲3乙0」3种情况，则需要分不同情况得出结果后相加。

如果要求是「分部门」，例如「甲1乙2」的形式固定下来了，则总情况即为「甲1」的情况数×「乙2」的情况数。

很多「排列组合概率」的难题可能同时出现两种情况，只要能将其分类分清楚了，其实这种题目并不难。

（3）特殊类（除错位排列）

某些难题可能会考察特殊情况的排列组合，例如：

「植树时在马路两侧植树且第一棵树固定」

「2人一组，共有多组参加活动」

「在圆桌上参加宴会」

「有的人可选择任何位置，有的人只能选择部分位置（如住旅馆只能住在1层等）」

这些情况本质上和「排列组合」公式以及「加法、乘法」的分类是想通的，除了「错位排列」之外，其他题目都是非常好理解的，只要根据题干描述进行分类即可，在接下来的真题讲解中都会详细分析。

需要注意，如果题目看似是在求「排列组合概率」，但选项和题干数字都很小，那很可能需要使用「逐个列出」等方法去解题。关于这方面的解析，各位小伙伴可参考之前的内容：「数量关系」解题技巧（7）——整消法。

三、例题1：繁琐的计算导致正确率变低

【2017国考地市级卷66题／ 省级卷68题】小张需要在5个长度分别为15秒、53秒、22秒、47秒、23秒的视频片段中选取若干个，合成为一个长度在80~90秒之间的宣传视频。要求每个片段均需完整使用且最多使用一次，并且片段间没有空闲时段。

小张最多可能做出多少个不同的视频？

（A）6

（B）12

（C）18

（D）24

小张最多可能做出多少个不同的视频？

（A）6

（B）12

（C）18

（D）24

正确率50%，易错项B

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列出题干数据关系：

①5片段长度为15、53、22、47、23

②合成视频长度80~90

③片段完整、无空闲、最多使用一次，求视频种类数量

由①②可知，小张需要选择几个视频片段，找出时间相加在80~90之间的组合。

把几个数从大到小排列：53、47、23、22、15，首先从最大数53开始罗列所有的可能：

53 47=100＞90，排除

53 23=76,76 （最小的）15=91＞90，排除

53 22 15=90，符合情况

然后从47开始数：

47 23=70,70 22=92＞90，排除

47 23 15=85，符合情况

47 22 15=84，符合情况

可以看出，符合情况的共三类，分别为：

53 22 15=90

47 23 15=85

47 22 15=84

根据③可知，每个视频片段放在不同的位置都是不同的视频，即本题适用排列公式（A），不适用组合公式（C），可得视频数为：

A（3，3） A（3，3） A（3，3）

=6 6 6=18个，C选项正确。

此类计算量大的题目一定要有耐心才能解得正确答案，需要注意本题适用于排列公式。

虽然这道题的计算量不是很大，但计算较为繁琐，因此正确率不高。

四、例题2：通过选项思考暴力破解的可能性

【2017国考省级卷70题】某集团企业5个分公司分别派出1人去集团总部参加培训，培训后再将5人随机分配到这5个分公司，每个分公司只分配1人。

5个参加培训的人中，有且仅有1人在培训后返回原分公司的概率为（ ）

（A）低于20%

（B）在20%~30%之间

（C）在30%~35%之间

（D）大于35%

5个参加培训的人中，有且仅有1人在培训后返回原分公司的概率为（ ）

（A）低于20%

（B）在20%~30%之间

（C）在30%~35%之间

（D）大于35%

正确率15%，易错项B

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列出题干数据关系：

①5公司分别派1人

②重新分配，每公司分配1人

③求有且仅有1人返回原公司的概率

列出计算公式：

有且仅有1人返回原公司的概率=有且仅有1人返回原公司的情况/全部分配情况

根据②可知，5个人分到不同的公司属于不同的分配情况，符合排列公式（A），即：

全部分配情况=A（5，5）=120

本题的难点是「只有1人返回原公司的分配情况」。设5家公司为ABCDE，5名员工也为ABCDE，字母一一对应。以员工A为例，该描述可以分解为两句话：

（1）员工A返回了A公司；

（2）其他4名员工没有回到自己的公司，即B可以去CDE不能去B,C可以去BDE不能去C……

分析之后可得出，（2）是个典型的4个元素的错位排列问题，即D4=9。

错位排列公式：D3=2，D4=9，D5=44，D6=265，更复杂的一般不会去考察。

BCDE员工返回原公司的概率和A员工相同，共有9×5=45种分配情况。因此，所求概率为：

45/120=37.5%＞35%，D选项正确。

那么问题就来了：如果考生不熟悉错位排列的公式，或者不熟悉错位排列的适用场景，应该怎么办呢？

这就是国考的精髓之处。相对于排列组合公式，错位排列是一个较为冷门的考点，但本题并不要求考生一定要掌握，其解题奥秘，就在原文中。

通过分析我们不难看出，全部的分配情况为A（5，5）=120，而ABCDE公司的ABCDE员工没有特殊要求，因此：

120=5×「员工A返回A公司，其他4名员工没有回到自己的公司」的分配情况（即员工A返回A公司这一情况没有特殊性，BCDE公司和员工也符合）

可知「员工A返回A公司，其他4名员工没有回到自己的公司」的分配情况=24

观察选项可知，本题数值最大选项D也只有35%，而24的35%约比8大一点（35%比33.33%大一点，24×33.33%=8），即：

「最多只需要数出9种情况就能得到正确答案」

也就是说，本题可以暴力破解，一个个数所有的分配可能即可，不会浪费太多时间。

那么，以上文说的那个情况为例：A员工返回了A公司，其他4名员工没有回到自己的公司，即B可以去CDE不能去B,C可以去BDE不能去C……

在这种情况下，以员工B去C公司为例，C只能去BDE。如果C去B，那么D只能去E，E只能去D；如果C去D，那么D只能去E，E只能去B；如果C去E，那么D只能去B，E只能去D。也就是说，B去C的前提下，只有3种情形。同样，B去D、E也是各有3种情形，也就是共有9种。

以B去C，C去B为例简单列图就能明白这个关系了（红箭头代表B去C，蓝箭头代表其他所有可能）。

可能性一：

可能性二：

可能性三：

虽然上述内容文字描述看上去很复杂，但在草稿纸上列表就是半分钟的事情。这种解法也可得出正确答案。

之所以把这个「不知道、不会用错位排列」的解题方法写了这么多，是因为要给各位小伙伴提供另一种一个思考角度，通过选项思考暴力破解的可能性。本题正确率只有15%，如果做对就战胜了绝大多数考生，因此千万不要轻言放弃。

五、例题3：极为简单，一半做错的题

【2015国考地市级卷67题／省级卷66题】把12棵同样的松树和6棵同样的柏树种植在道路两侧，每侧种植9棵，要求每侧的柏树数量相等且不相邻，且道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树。

共有多少种不同的种植方法？

（A）36

（B）50

（C）100

（D）400

共有多少种不同的种植方法？

（A）36

（B）50

（C）100

（D）400

正确率51%，易错项B

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列出题干数据关系：

①12松6柏种两侧，每侧9棵

②柏每侧相等（各3棵），不相邻

③起点终点都是松

根据①②可知每侧固定6松3柏

根据③可知每侧两端的树固定为松

实际情况如下：

两端加粗的「松」有固定要求，6松内部共有5个可以插入的空（即满足「柏不相邻」的要求）。

也就是说，本题可以理解为「从5个可以插入的空中，选出3个空种植柏」。由于本题的柏没有特征，符合组合公式，因此每侧种植方法为：

C（5，3）=10

两侧总共种植方法为10²=100，C选项正确。

在本题中，「两侧种植情况相同」这个情况能帮助考生秒排除B，如果答案中有更多的非平方数，例如30、50、100、120，那么可以立即选出100。

「不相邻」是排列组合题中非常流行的考法，一定要引起注意。

六、例题4：看似简单叙述中的隐藏陷阱

【2015国考地市级卷68题／省级卷67题】某单位有3项业务要招标，共有5家公司前来投标，且每家公司都对3项业务发出了投标申请，最终发现每项业务都有且只有1家公司中标。

如5家公司在各项业务中中标的概率均相等，这3项业务由同一家公司中标的概率为多少？

（A）1/25

（B）1/81

（C）1/125

（D）1/243

如5家公司在各项业务中中标的概率均相等，这3项业务由同一家公司中标的概率为多少？

（A）1/25

（B）1/81

（C）1/125

（D）1/243

正确率21%，易错项C

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列出题干数据关系：

①3项业务，5家公司投标

②每项业务1家公司中标

③求同一家公司中标的概率

根据①②可知，某家公司某项业务中标几率为：

1÷5=1/5

共有3项业务，则某家公司3项业务全部中标几率为：

（1/5）³=1/125

题干说的是「同一家公司」，并没有说是「（固定的）某家公司」，因此「同一家公司3项业务全部中标几率」为：

1/125×5=1/25，A选项正确。

本题基本没有难度，但错误率极高。很多考生不是不会做，而是没有认真审题，没有理解「同一家公司」的含义。这道题乍一眼看上去很像送分题，概率的计算公式非常简单，数值也很小，看似平平淡淡，但考场上并不会标注本题的正确率。如果事先把正确率告诉考生，很多考生就能意识到叙述中暗含的陷阱了。

从这道题可以看出，「审题」非常重要，看上去很简单的叙述也可能有陷阱。

七、例题5：分不同情况考虑安排方案

【2014国考71题】一次会议某单位邀请了10名专家。该单位预定了10个房间，其中一层5间。二层5间。已知邀请专家中4人要求住二层、3人要求住一层。其余3人住任一层均可。那么要满足他们的住宿要求且每人1间。

有多少种不同的安排方案？

（A）75

（B）450

（C）7200

（D）43200

有多少种不同的安排方案？

（A）75

（B）450

（C）7200

（D）43200

正确率46%，易错项C

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列出题干数据关系：

①10人住10房间，每人一间

②一层5间二层5间

③4人二层，3人一层，3人任意层

④求安排方案的数量

根据③的限定可逐层考虑安排情况，并将不同的情况相乘即可。

二层4人住5间，符合排列公式，即：

A（5，4）=5×4×3×2=120

二层3人住5间，符合排列公式，即：

A（5，3）=5×4×3=60

还有3人住余下3间，符合排列公式，即：

A（3，3）=3×2=6

因此总安排情况=三种情况相乘

=120×60×6

=7200×6

=43200种，D选项正确。

本题一定要注意「3人任意层」的含义是「安排好一层、二层人员之后，还余下3间房，3人在3间房中任意挑选」，而不是「3人住3间只有一种情况」。如果没有理解这一点，就很容易误选C。

一定要准确理解题干描述，不要在简单题目上丢分。

八、例题6：理解排列组合题的关键

【2012国考70题】有5对夫妻参加一场婚礼，他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐，但是操办者不知道他们之间的关系，随机安排座位。

5对夫妻恰好相邻而坐的概率是多少?

（A）≤1‰

（B）1‰~5‰

（C）5‰~1%

（D）＞1%

5对夫妻恰好相邻而坐的概率是多少?

（A）≤1‰

（B）1‰~5‰

（C）5‰~1%

（D）＞1%

正确率31%，易错项B

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列出题干数据关系：

①5对夫妻，一个圆桌

②10个座位，随机安排

③恰好相邻，求其概率

③所要求的概率为：

5队夫妻恰好相邻的安排数量/总安排数量

需要注意本题是「一个圆桌」，即夫妻ABCDE和BCDEA、CDEAB、DEABC、EABCD的排列情况是相同的，也就是说，根据①将5队夫妻视为整体，则整体安排数量为：

A（5，5）÷5=2×3×4

夫妻内部有夫左妻右、夫右妻左两种情况，因此5队夫妻内部的排列情况为2的5次方，即5队夫妻恰好相邻的安排数量为：

2×3×4×2的5次方

10人同样位于「一个圆桌」，同理其总安排数量为：

A（10，10）÷10=2×3×……×9

即：

5队夫妻恰好相邻的安排数量/总安排数量

=2×3×4×2的5次方/（2×3×……×9）

=2的5次方/5×6×7×8×9

=2/5×3×7×9=2/945，A选项正确。

本题即使不考虑「圆桌」的排列，最后结果也是1/945，同样位于A选项范围内。总体来看，这道题还是很人性化的。

理解了本题，就理解了大部分公考中的「排列组合」题。

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