裂项公式万能公式（连续整数积的裂项公式）

有关含“…”整数求和问题，往往需要将各加数分裂为两数的差，然后采用错位相加抵消法进行简便计算，此时就需要用到连续整数积的裂项公式。

（一）单独正整数n的裂项公式

由于n(n 1)-(n-1)n=n² n-n² n=2n，

所以n=[n(n 1)-(n-1)n]/2.

例如，计算：101 102 103 … 2019.

解：原式=[101×102-100×101 102×103-101×102

… 2019×2020-2018×2019]/2

=[-100×101 2019×2020]/2

=2034140.

（二）两个连续整数积n(n 1)的裂项公式

由于n(n 1)(n 2)-(n-1)n(n 1)

=n(n 1)[(n 2)-(n-1)]

=3n(n 1)，

所以n(n 1)=[ n(n 1)(n 2)-(n-1)n(n 1)]/3.

例如，计算：1×2 2×3 3×4 …99×100。

解：原式=[1×2×3-0×1×2 2×3×4-1×2×3 3×4×5-2×3×4

… 99×100×101-98×99×100]/3

=[0 99×100×101]/3

=333300.

（三）三个连续整数积n(n 1)(n 2)的裂项公式

仿照（一）、（二）的推导可得：

(n 1)(n 2)(n 3)=[(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)-n(n 1)(n 2)(n 3)]/4；

（四）三个连续整数积(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)的裂项公式

(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)

=[(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)(n 5)-n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)]/5。