数学初中七年级下册人教版实数（中学生课外读物数的产生与发展）

中学生课外读物《数的产生与发展》（特殊的实数）

一.圆周率π

（一）π定义及近似值

圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。

π是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。

π是一个常数，约等于3.141592654，它的精确值是一个无理数，即无限不循环小数。

在日常生活、生产、科学实验中，通常用π的近似值进行计算。工程师或物理学家要进行较精密的计算，只需取值至小数点后几百个位。其它常用计算只需要精确到小数后3至10位。

（二）π的几个计算公式

①

注意到它是一个无穷的根式结构，整个公式只用到了数字2！

②

这个公式是一个无穷乘积，形式上很简洁。

③

这个连分数的分子依次为1，2，3，4，5，6，7，…

④

这个中含e（见后），阶乘，总体为积的运算。

⑤

这个中连分数分子为正整数平方。

⑥

这个与素数有关。

⑦高精度计算π的公式

这个简单而又优美的公式，不是π的精确公式，却可以将π精确到小数点后420亿位！

二.自然常数e

1.e的由来

自然常数e ，是自然对数函数的底数。它是数学中最重要的常数之一，是一个无理数，就是说跟 π 一样是无限不循环小数，在小数点后面无穷无尽，永不重复......

无理数圆周率 π 和 √2， 是由数学家研究几何问题时发现的，而e则出自于一个金融问题，是用来表示增长率和变化率的常数，很多增长与衰减过程中都出现了 e 的身影。

2.e 与复利问题

假设某人在银行存了 1 块钱本金，而银行提供的年利率是 100%。这样的话，1 年后连本带息，将会得到 2 块钱，这个非常容易理解。

假设存1元，半年就计算一次利息，半年利率为 50%，这样在下半年中，上半年的利息0.5元可以作为本金再次生息。年终可得（1＋0.5）×（1＋0.5）＝2.25元。

同样这个问题，假设每个月计算一次利息，而月利率为 1/12 ，按复利计算，年终可得到大约 2.61304 块钱。

一般来说，我们将一年等分为n段，每段时间按复利1／n结息一次，那么年终会得到多少钱呢？年终可得（1＋1／n）＾n元。

下面可看n值变动时收入值变动情况：

若分期数n趋向于＋∞，年终收入值会是多少？即下式值为多少？

经过一段时间努力，人们得到了 e 的小数点后 18 位的一个近似值：2.718281828459045235，这就是描述增长率的自然常量 e 。

现在也有直接用下式来定义e：

3.e 是无理数

后来人们证明了，e是一个正常数，且是一个无理数。

三.代数数与超越数

1.代数数

我们把系数为全为整数的多项式方程的复数根叫代数数。

显然nx-m＝0（m，n为整数，n≠0）的解可以是任一有理数。可见代数数集包含了有理数集。

因x＾2＝2的解为±√2，x＾2＋1＝0的解为±i（i为虚数单位，相对于实数来说，是新数），x＾3＝3的解为三次根号3，所以±√2，±i，三次根号3都是代数数。

可以证明，代数数集并不包含全部实数。

代数数集是一个可数集，即所有代数数能与全体自然数建立一一对应，而实数集是不可数的连续数集，因此，一定存在不是代数数的实数。

现已证明 π和e这些无理数不是代数数。

2.代数数有下列性质：

代数数在有理数下的“ ”、“-”、“x”、“÷”运算中是封闭的，我们称它们构成一个域，称为代数数域。

可以证明，以代数数作为系数的有限次多项式的根也是代数数。

3.超越数

我们将不是代数数的实数称为实超越数。

可见，实数可分为代数数和实超越数分为两类。

法国数学家刘维尔早在1844年就证明了。一个无限小数：a=0.110001000000000000000001000…（a＝1/10^(1!)＋1/10^(2!)＋1/10^(3!)＋…），不可能满足任何整系数多项式方程，由此证明了它不是一个代数数，而是一个超越数。

可以证明，几乎所有的实数都是超越数。

后来，数学家厄米特与林德曼先后证明了e与π为超越数。

可以证明：

代数数在幂运算中不是封闭的，例如2＾（√2），即2的根号2次方不是代数数，它是一个超越数。

当a为一个非零代数数时，sina，cosa，tana，e＾a都是超越数。

当a为一个大于0且不等于1的代数数时，ln a是超越数。

4.难题

超越数是不能满足任何整系数代数方程的实数，定义恰与代数数相反。

在实数中除了代数数外，其余的都是超越数。

但是超越数不一定是实数，比如公式：e＾（πi）＋1＝0中的πi即是一个虚超越数。

可以证明实超越数有无穷个。可是，现今发现的实超越数极少，因为要证明一个数是超越数是十分困难的。

本小结基本只给了结论，让我们了解有关知识。

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