几大基本函数求导(几个简单函数的求导)
都说万事开头难,多半是第一步不知道该怎么迈出去。就像导数的学习,许多同学不知道从哪学起。其实很简单啦,数学是形式逻辑学,自然要从最简单的形式开始。
最简单的函数是自变量x为常数的函数,以y=3为例,我们来求它的导数。因为x的取值不影响y的值,其导数。
从易到难,接下来是一次函数,以y=kx为例,其导数,即。
幂函数,以为例,其导数,由二项式定理可知,,其中除和之外的各项极限值均为0,可以舍掉,于是有,即。
可见一次函数是幂函数的一个特例。
指数函数,以为例,其导数。
令,则有,且当时,。因此
这里涉及到一个重要的极限,也就是自然常数。可知,当时,,。
所以,即。
当时,,因此。
三角函数,以为例,其导数为
这里涉及到另一个重要的极限(在工程力学中经常用到),因此
,即。
同理,可得。
上述几个简单函数是可以直接求导的,而诸如对数函数、正切函数、余切函数等简单函数,以及更多的复合函数,它们的导数都是由上述几个简单函数的导数推导得来的。
总之,微积分的一切都是一步一步慢慢来的,由简到繁、由易到难,这个逻辑本身是简单且清晰的。
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