初中三角形全等所有模型(初中数学三角形全等之手拉手模型)
手拉手模型
特点:由两个等顶角的等腰三角形所组成,并且顶角的顶点为公共顶点。
主要结论:
(1)△ABD ≌ △AEC;
(2)∠α ∠BOC = 180°;
(3)OA 平分 ∠BOC。
基本变形:
共顶点等边三角形模型一
共顶点等边三角形模型二
共顶点正方形模型
共顶点等腰直角三角形模型
典例精讲:
【例题 1】如图在直线 ABC 的同一侧作两个等边 △ABD 与 △BCE,连结 AE 与 CD,
证明:
(1)△ABE ≌ △DBC;
∵ △ABD 与 △BCE 都是等边三角形,
∴ AB = DB , BE = BC , ∠DBA = ∠CBE = 60°,
∵ ∠DBA ∠DBE = ∠CBE ∠DBE = 60° ∠DBE,
∴ ∠ABE = ∠DBC,
∴ △ABE ≌ △DBC;(SAS)
(2)AE = DC;
由(1)知 △ABE ≌ △DBC,
∴ AE = DC;
(3)AE 与 DC 之间的夹角为 60°;
由(1)知 △ABE ≌ △DBC,
∴ ∠1 = ∠2,
∵ ∠1 ∠DGH ∠3 = 180°,∠2 ∠AGB ∠4 = 180°,
又 ∵ ∠DGH = ∠AGB ,∠4 = 60°,
∴ ∠3 = ∠4 = 60°,
即 AE 与 DC 之间的夹角为 60°;
(4)△AGB ≌ △DFB;
由(1)知 △ABE ≌ △DBC,
∴ ∠1 = ∠2,
∵ AB = DB , ∠3 ∠4 ∠5 = 180°,∠3 = ∠5 = 60°,
∴ ∠3 = ∠4 = 60°,
∴ △AGB ≌ △DFB(ASA);
(5)△EGB ≌ △CFB;
由(1)知 △ABE ≌ △DBC,
∴ ∠1 = ∠2,
由(4)知 ∠3 = ∠4 = ∠5 = 60°,
∵ EB = CB ,
∴ △EGB ≌ △CFB(ASA);
(6)BH 平分 ∠AHC;
连接 BH,过点 B 分别作 BM⊥AE 于点 M,BN⊥CD 于点 N,垂足分别为 M、N,
由(1)知 △ABE ≌ △DBC,
∴ ∠1 = ∠2,
∵ AB = DB , ∠AMB = ∠DNB = 90°,
∴ △AMB ≌ △DNB,
∴ BM = BN,
∴ BH 平分 ∠AHC;
(7)GF∥AC。
由(4)知 △AGB ≌ △DFB, ∠3 = ∠4 = ∠5 = 60°,
∴ GB = FB,
∴ △GBF 是等边三角形,
∴ ∠2 = ∠3 = 60°,
∴ FG∥AC。
练习:
如图两个等边三角形 △ABD 与 △BCE,连结 AE 与 CD,
证明:
(1)△ABE ≌ △DBC;
(2)AE = DC;
(3)AE 与 DC 之间的夹角为 60°;
(4)AE 与 DC 的交点设为 H, BH 平分 ∠AHC。
【例题 2】如图,两个正方形 ABCD 与 DEFG ,连结 AG , CE , 二者相交于点 H .
求证:
(1)△ADG ≌ △CDE ;
(2)AG = CE;
(3)AG 与 CE 之间的夹角为多少度?
(4)HD 平分 ∠AHE .
(证明略)
【例题 3】如图,两个等腰直角三角形 ADC 与 EDG,连接 AG、CE 二者相交于点 H.
求证:
(1)△ADG ≌ △CDE ;
(2)AG = CE;
(3)AG 与 CE 之间的夹角为多少度?
(4)HD 平分 ∠AHE .
(证明略)
【例题 4】两个等腰三角形 △ABD 与 △BCE,其中 AB = BD , CB = EB , ∠ABD = ∠ CBE = α ,
连结 AE 与 CD 二者相交于点 H.
求证:
(1)△ABE ≌ △DBC;
(2)AE = CD;
(3)AE 与 CD 之间的夹角为多少度?
(4)HB 平分 ∠AHC .
(证明略)
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