抛物线知识点导入（抛物线讲义七）

39 求证：FA*FB*FC=FA’*FB’*FC’，

40 △A’B’C’的外接圆是否经过某个定点？

41 求△A’B’C’垂心H的轨迹。

42 证明斯坦纳定理：△ABC外接圆上任一点关于三边对称点与△ABC垂心共线。

43 抛物线的四条切线，每两条切线交点与另两条切线交点连线中点共线（牛顿线定理）

44 对于一般的四条直线，交成四个三角形，证明这四个三角的外接圆交于一点。这四个三角形的垂心在同一条直线上。

39 求证：FA*FB*FC=FA’*FB’*FC’，

思路：这显然和性质27有关。

以上三式相乘并开方即得FA*FB*FC=FA’*FB’*FC’。

注：本题是性质27的推论，当然也可以直接计算证明。

40 △A’B’C’的外接圆是否经过某个定点？

思路分析一：

切线的关键是切点，所以可以设出三条切线的切点为A,B,C,求出切线的交点坐标，然后设出外接圆的一般方程，将坐标代入，求出系数的表达式。最后让变量系数为0，即可求出定点坐标。

△A’B’C’的外接圆是否经过某个定点？

解答一：

思路分析二：

如果此圆过定点，此定点一定关于抛物线对称，因此最可疑的就是焦点F了。下面只需证明A’B’FC’共圆即可，只需利用到角公式算出一个角的正切值，对称得到另一个，说明其相等即可。

解答二：

思路分析三：纯几何证明

想到了前面性质9，

从而得到∠FPB=∠FQC=∠FQA=90°,

可以得到共圆，倒角即得结果。

解法三：

由前面性质9得∠FPB=∠FQC=∠FQA=90°,

故A'PQF共圆，

则∠FA'P=∠FQR,

同理∠FB'A=∠FQR,

故∠FB'A=∠FA'P,

故A'C'B'F共圆。

即△A’B’C’外接圆恒过抛物线焦点F。

注：

1、本性质既出乎意料，又在情理之中，是抛物线一个深刻而优美的性质，相对而言不是很常见。但是却是抛物线和圆的完美综合的问题。考察了抛物线的切线及三角形的外接圆方程及圆过定点的问题。既可以作为高考题（可以考察某些特例，例如让一条切线为y轴等），也可以作为竞赛题。可谓淡妆浓抹总相宜。

2、上面提供了三种解决思路，思路一是直接求出外接圆的一般方程。解决的关键是设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入，消元解出参数D,E,F。思路直接自然，只要按部就班的利用对称性消元，化简代入即可，运算量也不算太大。而且外接圆的一般方程也非常优美，首先是关于三个点A,B,C的坐标是对称的，而且只含有三个点的纵坐标的和、两两乘积的和、三个的乘积。最后确定此圆过焦点几乎是显而易见的。思路二和三都是直接猜出定点为焦点F，然后通过对角互补证明四点共圆。思路二是解析硬算，当然还是用到了到角公式，这个公式非常简单但是也非常重要，我在前面很多文章中（如《2020年高联一试11题的七种解法》）也强调过其至关重要的作用。这样运算量会小了不少。而且从结果看∠FA’C的大小只和点C有关，这也是一个神奇而精妙的结论。思路三是纯几何的想法，主要想到了性质9，下面利用两个四点共圆即可得到第三个四点共圆。当然通过思路三的证明也顺便证明了思路二的角度关系，即∠FA'P=∠FQR=过C的切线的倾斜角。

3、对平面几何定理比较熟悉的读者可以发现，上述证法三其实是证明了西姆松（Simson）定理的逆定理。因此本结论等价于西姆松定理的逆定理。

4、当然本题有可能还有其他的证明方法，有兴趣的读者可以自行挖掘，并欢迎在交流区探讨交流。

5、结合性质35，不难发现其实本性质等价于性质31。

此即为第41题的答案。

注：这也是抛物线外切三角形的奇妙性质，上述证明相对比较简洁，基本思路就是充分利用对称性，先猜后证。当然也可以按部就班的写出两条高线方程，联立解出垂心坐标。不过运算量会大不少。此题难度也不算高，既考察了几何性质，又需要解析计算，如果有对称思维能大大简化运算，结果也很神奇。是一个难度合适的高考或者竞赛试题。

42 证明斯坦纳定理：△ABC外接圆上任一点关于三边对称点与△ABC垂心共线。

进一步，结合性质12的证明知F关于切线的对称点在准线上，又由性质13知F在切点三角形外接圆上，而由性质14知垂心在准线上，这样就证明了斯坦纳定理，即

△ABC外接圆上任一点关于三边对称点与△ABC垂心共线。

此即为问题42的证明。

43 抛物线的四条切线，每两条切线交点与另两条切线交点连线中点共线（牛顿线定理）

证明：

44 对于一般的四条直线，交成四个三角形，证明这四个三角的外接圆交于一点。这四个三角形的垂心在同一条直线上。

下面更上一层楼，考察抛物线四条切线围成的图形（一般把四条直线围成的图形称为完全四边形）。每三条切线可以围成一个三角形，这样就能得到四个外切三角形。由性质40知每个三角形的外接圆都经过焦点F。从而此四圆共点于F。又由性质41知四个三角形的垂心都在准线上，从而四个三角形的垂心共线。

反之，我们知道与四条直线都相切的抛物线是唯一的（一个相切相当于一个条件，四个条件可以确定一个抛物线）。这样我们就得到了对一般的四条直线构成的完全四边形，其中的四个三角形的外接圆共点于此抛物线焦点F，四个三角形的垂心共线于此抛物线的准线。这就是问题44的答案。

注：对平面几何熟悉的读者知道，此即为完全四边形的性质：密克点、垂心线。上面通过抛物线的性质曲径通幽，用解析法证明了上述结论，可谓另辟蹊径。而且还有进一步的结论，四条切线中，每三条切线围成的四个三角形外心共圆。囿于难度，这里就略去不讲了。

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