无穷大与无穷小之间存在什么关系（无穷大到底有多大）

无穷也分大小

自然数和偶数一样多

今天，在吃饭的时候8岁表妹问到超模君，什么数是最大的呢？

咳咳（假装润喉），看来前几天学的有关无穷大的知识终于能用（zhuang）上（bi）了。

在原始人时期，人们数数最多数到 3 ，因为对他们来说 3 之后就是很大很大的数字。也就是说，假如原始人玩数最大的游戏，谁先从 1 开始数，谁就能获胜。

后来一直到了古希腊时期，一位哲学家——亚里士多德首先提出了无穷这一想法，也就是表妹说的“无数”，之后才有了无穷大这个概念。

亚里士多德

答案是：自然数和偶数一样多！

怎么说？

首先我们想象一下，把奇数写在上面，偶数写在下面。再把奇数1拿上去，偶数2拿下来，以此类推，只要这样进行下去，哪方拿出一个数以后，另一方拿不出数，那么当然就是最后拿出数字的那一方数比较大。

可是拿出奇数或者偶数这个动作可以做多少次呢？

我们会发现，是无穷次，所以这样对比是没有意义滴！

康托尔是这么认为的（敲黑板）。按照上图的方法可以看出，奇数和偶数是存在无数对一一对应，这就说明，偶数和奇数的个数是一样的。

这种方法也叫做无穷大数算数。

现代集合论奠基人—康托尔

但是这还没有完，按照正常人的想法，自然数包括奇数和偶数，总体大于部分，那自然数肯定大于偶数呀。

先别急，我们换种方式思考下，继续用上面的方法.

把基数一行换成自然数（n），把偶数行换成对应自然数的倍数（2n），我们会发现，这样自然数和偶数也是一一对应的，也是是说偶数数量和自然数数量是一样多，这在现代集合论中，称之为等势。

通常来说在集合理论中，如果两个无穷大相等，就叫做等势，也叫有相同的基数（不是奇数哦），基数简单来说就是无穷集合中的元素个数。

刚刚我们说过的自然数与偶数就是等势。同理，只要把对应自然数的2倍减1（2n-1）就可以发现奇数和自然数也是一一对应，所以奇数和自然数也是等势。

我们首先把两条线段其中一端相连，构成一个三角形，然后画一条和底线平行的虚线。

然后你会发现，虚线经过线段A截出点C，同时就可以在线段B上戳出点C'，这两个点就是一一对应的关系，所以这样看，线段A、B上点的个数是一样的。

我们再看看线段和平面，取长度为 1 的线段和边长为 1 的正方形。正方形上任意一个点都会有坐标，比如（0.56,0.89），在线段上我们上就可以表示为0.5689，它们还是一一对应。

同理线段和立方体也是一样，即同为等势。

由于「直线上的点」不仅有自然数还有无理数，所以无法在自然数中找到「直线中全部的点」，但是自然数都可以在「直线的点」里找到。

显而易见，直线和自然数不是等势的，且直线的势大于自然数的势。

我们设自然数集和线段的点集分别为第一，第二级势，那么只要找到比他更大的势的就可以啦！

举个列子，曲线上的点集就是比线段上的点集还要大的势。曲线上的点在线段上无法找到全部的点一一对应，所以说曲线上的点比线段上的点要大。

表妹非常激动地留了眼泪，心里默默想着：我要回去找我朋友炫（zhuang）耀（bi）了！！