一元二次函数方程不等式必修几（必修第一册-第二章-2.3二次函数与一元二次方程）

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式，我来为大家科普一下关于一元二次函数方程不等式必修几?下面希望有你要的答案，我们一起来看看吧!

一元二次函数方程不等式必修几

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式

第1课时　一元二次不等式及其解法

学 习 目 标	核 心 素 养
1.掌握一元二次不等式的解法(重点). 2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点).	通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养.

1．一元二次不等式的概念

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．

2．一元二次不等式的一般形式

(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．

(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．

(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．

(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．

思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？

提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．

3．一元二次不等式的解与解集

使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．

思考2：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？

提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．

4．三个“二次”的关系

设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式			Δ＞0		Δ＝0		Δ＜0
解不等式y＞0或y＜0的步骤	求方程y＝0的解			有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)		有两个相等的实数根x1＝x2＝－		没有 实数根
	画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
	得等的集不式解	y＞0		{x|x＜x1_或x＞x2}				R
		y＜0		{x|x1＜x＜x2}		∅		∅

思考3：若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？

提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.

1．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为(　　)

A.

B.

C.

D．R

C　[3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤－.]

2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为(　　)

A.　 B.

C．∅ D．R

D　[因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.]

3．不等式x2－2x－5>2x的解集是________．

{x|x>5或x<－1}　[由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，因为x2－4x－5＝0的两根为－1,5，

故x2－4x－5>0的解集为{x|x<－1或x>5}．]

4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________．

∅　[原不等式变形为3x2－5x＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．

由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4<0的解集为∅.]

一元二次不等式的解法

【例1】　解下列不等式：

(1)2x2＋7x＋3>0；

(2)－4x2＋18x－≥0；

(3)－2x2＋3x－2<0.

[解]　(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为.

(2)原不等式可化为2≤0，所以原不等式的解集为.

(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.

解不含参数的一元二次不等式的一般步骤

(1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.

(2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.

(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.

(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.

(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.

1．解下列不等式

(1)2x2－3x－2>0；

(2)x2－4x＋4>0；

(3)－x2＋2x－3<0；

(4)－3x2＋5x－2>0.

[解]　(1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－，x2＝2，

∴不等式2x2－3x－2>0的解集为

.

(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，

∴不等式x2－4x＋4>0的解集为.

(3)原不等式可化为x2－2x＋3>0，

由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解，

∴不等式－x2＋2x－3<0的解集为R.

(4)原不等式可化为3x2－5x＋2<0，

由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝1，

∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为.

含参数的一元二次不等式的解法

【例2】　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.

[思路点拨]　①对于二次项的系数a是否分a＝0，a<0，a>0三类进行讨论？②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？

[解]　当a＝0时，原不等式可化为x>1.

当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0.

当a<0时，不等式可化为(x－1)>0，

∵<1，∴x<或x>1.

当a>0时，原不等式可化为(x－1)<0.

若<1，即a>1，则<x<1；

若＝1，即a＝1，则x∈∅；

若>1，即0<a<1，则1<x<.

综上所述，当a<0时，原不等式的解集为；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<1时，原不等式的解集为；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a>1时，原不等式的解集为.

解含参数的一元二次不等式的一般步骤

提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．

2．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．

[解]　原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，

化简为(x＋1)(ax－2)≥0.

∵a<0，∴(x＋1)≤0.

当－2<a<0时，≤x≤－1；

当a＝－2时，x＝－1；

当a<－2时，－1≤x≤.

综上所述，

当－2<a<0时，解集为；

当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；

当a<－2时，解集为.

三个“二次”的关系

[探究问题]

1．利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？

提示：y＝x2－2x－3的图象如图所示．

函数y＝x2－2x－3的值满足y>0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，满足y<0时x的取值集合为{x|－1<x<3}，满足y＝0时x的取值集合，亦即y＝x2－2x－3图象与x轴交点横坐标组成的集合{－1,3}．这说明：

方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式．

2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？

提示：方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3}．

不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}，观察发现不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．

3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则x1＋x2，x1x2为何值？

提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则即不等式的解集的端点值是相应方程的根．

【例3】　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．

[思路点拨]　→→→→

[解]　法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知＝－5，＝6.由a<0知c<0，＝，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为.

法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0⇒6a<0，故原不等式的解集为.

1．(变结论)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．

[解]　由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0.

∴c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0，

即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0.

解之得.

2．(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}变为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是.求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．

[解]　法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a＜0.又×2＝＜0，则c＞0.

又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，

∴－＝，∴＝－.

又＝－，∴b＝－a，c＝－a，

∴不等式变为x2＋x＋a＜0，

即2ax2＋5ax－3a＞0.

又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，

所求不等式的解集为.

法二：由已知得a＜0 且＋2＝－，×2＝知c＞0，

设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，

则x1＋x2＝－，x1·x2＝，

其中＝＝－，

－＝＝＝＋＝－，

∴x1＝＝－3，x2＝.

∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为.

已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：

(1)根据解集来判断二次项系数的符号；

(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；

(3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.

1．解一元二次不等式的常见方法

(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：

①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；

②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；

③由图象得出不等式的解集．

(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．

当m<n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得{x|x＞n或x＜m}；

若(x－m)(x－n)＜0，则可得{x|m＜x＜n}．

有口诀如下：大于取两边，小于取中间．

2．含参数的一元二次型的不等式

在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑

(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.

(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．

(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，

x1＝x2，x1＜x2.

3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标.

1．思考辨析

(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．(　　)

(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．(　　)

(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}．(　　)

(4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.(　　)

[提示]　(1)错误．当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，是一元二次不等式．

(2)错误．因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.

(3)错误．当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}，否则不成立．

(4)正确．因为Δ＝(－2)2－12<0，所以不等式x2－2x＋3>0的解集为R.

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　

2．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为________．

　[因为a<－1，所以a(x－a)·<0⇔(x－a)·>0.又a<－1，所以>a，所以x>或x<a.]

3．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，则ax2－bx＋c>0的解集为________．

　[由题意，－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根且a<0，

故解得a＝c，b＝a.

所以不等式ax2－bx＋c>0，即为2x2－5x＋2<0，

解得<x<2，即不等式ax2－bx＋c>0的解集为.]

4．解下列不等式：

(1)x(7－x)≥12；

(2)x2>2(x－1)．

[解]　(1)原不等式可化为x2－7x＋12≤0，因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，

所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．

(2)原不等式可以化为x2－2x＋2>0，

因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上，

所以原不等式的解集为R.

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