圆的面积第三课时 圆的面积第4课时

(bluehouse456 全文整理）在前面的学习中，我们认识了圆，掌握了圆的周长及面积的计算方法，我来为大家科普一下关于圆的面积第三课时 圆的面积第4课时?下面希望有你要的答案，我们一起来看看吧!

圆的面积第三课时 圆的面积第4课时

(bluehouse456 全文整理）

在前面的学习中，我们认识了圆，掌握了圆的周长及面积的计算方法。

接下来，我们又认识了圆环，会计算圆环的面积。

这节课我们在前面学习的基础上，一起来学习人教版六年级上册第五单元圆的面积。第四课时同学们请看，这是哪儿啊？你们去过吗？

文文说这是天坛，我经常去。

小明说，这好像是地坛公园，我知道天坛和地坛都是我国古代有名的建筑。

你们知道的真多，我们把天坛地坛比较一下，你能发现它们有什么不同点吗？

文文说，我发现天坛是圆的，地坛是方的。

正像同学们说的那样，在这些古老的建筑中，圆和正方形是我们再熟悉不过的图形了。

中国传统的建筑更是讲究天圆地方。

同学们刚刚看到的明清时期在北京修建的天坛和地坛，就是遵循天圆地方原则修建的。

除了中国的特色建筑具备这样的特点，你还在哪儿见过具备天圆地方这种特点的图案呢？我们一起来看一看吧。

这是北京传统的四合院，这是中国古代钱币。

这是具有浓浓中国特色的窗框，这些都是具有中国传统特色的建筑和器物。

仔细比较，你又有些什么发现呢？

它们都是由圆和正方形组成的组合图形。大家看左边的窗框，外面是方的，里面是圆的，右边的抽空，外面是圆的，里面是方的。

同学们都能用数学的眼光发现生活中的美。

刚才有的同学已经发现了这些图形中的相同与不同，下面我们一起来深入探究这两种组合图形。

同学们，你能尝试着在正方形内画一个最大的圆吗？

自己试一试。

我们先来看一看这几位同学是怎么画的。

月月觉得这么画不对，圆心定偏了。

小明觉得他画出的这个圆不是正方形内最大的圆。

通过他们的讨论，使我们进一步清楚了确定圆心的位置和半径的大小最重要。我们再来看看文文是怎样画的，我连接正方形的对角线，找到了圆心。

我任意确定了一个半径之后，画出了一个圆，但是画完之后我觉得自己画的不对。

当然不对了，这个圆不完全在正方形内，我发现圆的直径只有和正方形的边长相等时，画出的才是正方形内最大的圆。

月月说，我就是按照小红的方法画的，在正方形内画出了最大的圆。

看来我们要想正确画出正方形内最大的圆是有方法的。屏幕前的同学们，你们现在想想最关键的是要确定什么呢？我们一起听听同学们的想法。

我觉得最关键的是要确的圆心的位置和半径的长度。圆心的位置是正方形对角线的交点，因为圆的直径和正方形的边长一样长，所以半径的长度就跟正方形边长的一半。

对，就是以正方形对角线的交点为圆心，以正方形边长的一半为半径，这样画出的圆就是正方形内最大的圆。

我们根据这种图形的特点，把这种图形称为外方内圆。

既然有外方内圆，那就一定有外圆内方。

如果让正方形的四个顶点都在圆上，使它成为圆内最大的正方形。

这个圆又该怎样画呢？自己试一试。

屏幕前的同学们，你们看看这幅图和你画的一样吗？

乐乐说。

我也是这样画的，通过刚才的尝试，我知道正方形对角线的交点就是圆心的位置，在找半径长度的时候，我在想正方形要完全包含在圆里面，因此要找到从圆心到正方形一个角的顶点的距离。

所以正方形对角线的一半就是半径的长度。

同学们真了不起，能否根据上一幅图的经验，正确确定圆的圆心和半径，并画出图形？你们真会学习？像这样的图形，我们称为外圆内方。

屏幕前的同学们比较我们画出的这两个图形。

它们之间有什么联系呢？我们图中正方形的大小和位置都不同，大正方形的圆外，小正方形在圆内。

我觉得这两幅图中圆的大小相同，因为两个圆的半径一样长，所以圆的大小相同。

你们真会观察，一下就发现了图形的本质特点，发现了圆和正方形之间的内在联系，我们一起来看看这两个圆是不是一样大。

果然像同学们说的那样，圆心和正方形对角线的交点重合，圆的半径相同，大小一样。

刚刚我们通过画图找到了圆和正方形之间的关系，再看这两幅图，你能提出什么数学问题吗？小明想知道圆或者正方形的面积。

乐乐想知道圆和正方形之间部分的面积。

要想解决你们提出的问题，需要知道什么条件要求圆的面积，就要知道圆的半径或者直径。

要求正方形的面积，就要知道边长。

求正方形和圆中间部分面积，可以用较大图形的面积减去较小图形的面积。

如果只告诉你图中两个圆的半径都是一米。

屏幕前的同学们，你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？

请大家试着解决这个问题，可以先画一画，再算一算，争取让别人看懂你的想法。

如果你没写完也没关系，先看这几位同学是怎么想的。

我们先来看看第一幅图，有一个同学的列式是这样的，他遇到了困难，我们快帮他看看，正方形的面积他算对了，但是圆的面积公式是派R的平方，这幅图中圆半径是一米，它圆面积算错了，所以我们在解决问题时要选择正确的信息进行计算。

我同意乐乐的说法，正方形的边长刚好等于圆的直径。

因此通过圆的半径可以算出直径是两米。

正方形的面积就是二乘二等于四平方米，圆的面积是3.14乘一的平方等于3.14平方米，最后算面积差四减3.14等于0.86平方米。

小红的方法很正确，屏幕前的同学们，你们的想法和他一样吗？

我们再一起看看外圆内方的情况。

正方形的对角线与圆的半径也有关系，正方形的对角线刚好等于圆的直线，但是怎么能计算正方形的面积呢？我发现可以把图中的正方形等分成两个三角形，三角形的底就是圆的直径，也就是两米高，圆的半径也就是一米，这样的三角形的面积就是二横一除以二就等于一平方米。

正方形的面积就是一乘二就等于两平方米，圆的面积就是3.14乘一的平方就等于3.14平方米。

第五圈变成3.14减二就等于1.14平方米，这种方法特别好，不仅发现了图形的特点，还借助了之前学习的三角形面积的计算方法，求出了中间部分的面积。

我也是把正方形等分成了三角形。

但我是等分成了四个三角形，每个小三角形的底和高就是圆的半径都是一米。

小三角形的面积就是一乘一除以二等于1/2平方米。

正方形的面积就是1/2乘四等于二平方米。

圆的面积就是3.14乘一的平方等于3.14平方米。

圆和正方形的面积差就是3.14减二等于1.14平方米。

小明和文文把正方形等分成不同大小的三角形，用之前学习的知识解决了新问题，真了不起。

月月有了新的想法，我们快听听。

通过刚刚的研究，我发现正方形与圆之间的面积与圆的半径是有关的，我们刚刚只是研究了半径是一米时，圆和正方形之间的面积是多少，我想知道如果圆的大小发生变化了，外方内圆和外圆内方中正方形和圆之间的面积是不是也有规律呢？这个规律和半径有什么关系呢？我想把半径一米用字母R表示试一试。

屏幕前的同学们，我们一起试一试吧。我们先来看外方内圆这个组合图形，圆的半径为R，圆的面积就是派R的平方，直径就是2R，也就是说正方形的边长就是2R，因此正方形面积就是2R的积的平方，也就是4R的平方。

面积差列式为4R的平方减3.14乘R的平方等于0.86R的平方。

我来汇报外圆内方的情况，圆的面积和刚才算的一样，S圆等于派R的平方。如果把正方形等分成两个三角形，那么三角形的底是2R，高是RS三角形等于1/2乘2R乘R等于R的平方。

S正方形等于2R的平方，所以面积差是3.14乘R的平方减2R的平方等于1.14R的平方。

我有不同的方法，我把正方形等分成了四个小三角形，小三角形的底和高都是R，面积就是1/2R的平方，所以正方形的面积仍然是四乘1/2R的平方等于2R的平方。

面积差也可以算出3.14乘R的平方减2R的平方等于1.14R的平方。我发现不管圆的大小如何改变，外方内圆这个组合图形中，正方形与圆之间的面积都是半径平方的0.86倍，而外圆内方这个组合图形中正方形与圆之间的面积都是半径平方的1.14倍。我算了一下，当半径等于一时，和前面的结果完全一样。

同学们，今天我们研究的是外方内圆和外圆内方中正方形和圆之间部分的面积问题。同学们借助了已有的图形特征和平面图形面积计算的知识，自己解决了这个新问。

看来，把新知识转化成旧知识再解决，确实是解决问题的好方法。刚刚我们知道了，这两个图形中的圆的面积是一样大的，如果把两幅图合在一起。

看着图，你们还有什么发现吗？

有的同学发现，如果圆的半径是R，圆的面积是派R的平方，对于同一个圆来说，大正方形的面积是4R的平方。

小正方形的面积，刚才求出来了是2R的平方。

两个正方形之间部分的面积是4R方减2R方等于2R方。

还有的同学惊奇的发现。

大正方形面积比圆的面积比小正方形的面积等于4R方比派R方比2R方等于四比派比二。

还有同学补充到，大正方形的面积是小正方形面积的二倍。

你们真棒，同学们不仅善于发现规律，更善于总结规律，自己发现和总结推导出同一个圆中图形间的面积关系。

生活中还有很多类似的问题，你们能运用我们发现的这些规律解决生活中的问题吗？我们一起看看。

右图是一面我国唐代铜镜的背面，铜镜的直径是24厘米。

外面的圆与内部的正方形之间部分的面积是多少呢？

屏幕前的同学们，你们能解决吗？快动笔试一试吧。

我们一起来听听小红的想法，我建筑三角形的面积公式计算出了正方形的面积。

再算面积差。

列式是3.14乘12的平方减24乘12除以二乘二等于164.16平方厘米。

因此外面的圆与内部的正方形之间的面积是164.16平方厘米。

我们用刚刚找出的规律向半径12厘米带入。

1.14R的二次方等于1.14乘12乘12。

等于。

164.16平方厘米。

两位同学借助今天所学的知识正确解决了问题，屏幕前的同学们，你们做对了吗？

同学们，通过今天的研究，你有什么收获吗？今天我们认识了两个新的组合图形，外圆内方和外方内圆。我发现了这两种组合图形的圆心就是正方形对角线的交点，圆的半径与正方形的边长与对角线有密切的关系。我还知道了外方的圆中正方形和圆之间的面积是半径、平方等0.86分。

外圆内方中，正方形和圆之间的面积就半个平方的1.14倍。

对于同一个人来说，大正方形的面积比圆的面积比小正方形的面积就等于4K2。

我们经历了阅读与理解、分析与解答、回顾与反思的步骤，成功解决了数学问题。

我们用之前学习的三角形、正方形和圆面积的知识解决了今天的问题，我们又一次把新知转化成旧知解决了问题。我觉得转化思想特别有用，同学们真会学习，不仅有对知识的理解，对解决问题过程的探究，更有对数学思想方法的感悟。

回顾我们的探究过程，我们先假设圆的半径是一米。

通过计算求出正方形和圆之间部分的面积的特殊情况，在此基础上将字母带入到运算中，找到了中间部分面积和圆半径之间的关系。我们发现这个关系适用于外方内圆和外圆内方的一般情况。

我们经历了特殊结论一般化的过程。

最后把图形合并，我们还发现了大正方形圆、小正方形的面积比是四比派比二。

我们的思考过程由特殊到一般，层层深入，发现隐藏在图形背后的面积关系。

同学们，今天我们学习了圆的面积第四课时，具体内容在数学书的第67页例三。

课后练习是完成数学书第70页第九题、第71页第15题，今天的课就上到这儿。

,