级数的收敛性数学分析（判断数项级数收敛的一般方法）

在上一期，我们讲解了判别级数收敛的一般方法比较原则比较原则用一句话来大的级数收敛，小的级数也收敛；小的级数发散，大的级数也就发散，我来为大家科普一下关于级数的收敛性数学分析?下面希望有你要的答案，我们一起来看看吧!

级数的收敛性数学分析

在上一期，我们讲解了判别级数收敛的一般方法比较原则。比较原则用一句话来大的级数收敛，小的级数也收敛；小的级数发散，大的级数也就发散。

今天我们接着来讲解级数收敛判别方法的第二方法比式判别法。

取一个正项级数 ，在11月3日的文章《考研数学数项级数及其收敛》中，我们已经讲了，一个级数 收敛的前提条件是。

借助这个前提条件，你可以思考一下，级数 中的每一项 满足什么条件时，正项级数 收敛？

我们假设第一种情况，当 时

你觉得它收敛吗？我觉得它不收敛。

因为 是正项级数，所以 全都都大于0。

如果，那么。

所以，当时， 发散。

我们再看一下第二种情况，当 时

你觉得它收敛吗？我觉得它还不收敛，但是有一种情况除外，那就是。

你肯定会想“如果 都是无穷小量，那么 ， 不就收敛了吗？”。其实，事实并非如此。因为无穷多个无穷小量相加就是无穷大量。因为积少成多。一张纸的厚度大约是0.1毫米，0.1毫米和你的身高相比微不足道，但是将一张张纸叠起来肯定能超过你的身高，这就是为什么无穷多个无穷小量相加就是无穷大量。

所以，当 且 时，

发散。

我们最后看一下第三种情况，当 时

这个肯定收敛不要问为什么，因为它如果不能，那么今天讲的都是废话。

因为 是正项级数，所以肯定会有。

根据数列极限的定义，我们可以得到：

对于任意一个正数ε，总是存在一个正整数N，当n＞N时，有这样一个式子成立

由于，所以如果能在0与1之间存在一个正数q，使得

从而，≤

进而，

所以，=

=(等比数列求和)

在级数当中n是趋近于无穷大的，又因为0＜q＜1，所以

因此，=

所以， 收敛。

由于N是一个确定的数，所以 可以求出结果

再根据数项级数收敛比较原则可知， 收敛。

所以，我们可以得到这样一个结论：

设为正项级数，且存在某正整数N及常数q（0＜q＜1）

(1)若对一切n＞N，成立不等式，则级数 收敛；

（2）若对一切n＞N,成立不等式，则级数 发散。

,