让我们一起进入神奇的数学王国（绚丽的肥皂泡背后令人惊艳的数学之美）

我国著名数学家华罗庚（1910-1985）说过，"就数学本身而言，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美。”

几乎每个人都吹过肥皂泡，甚至成年人也会很有兴趣地玩。一个个滚圆的球，漂浮在空中，还呈现出绚丽的颜色，煞是好看。不过，好看的肥皂泡总是过一会儿就破灭了，所以文学家们形容某些美好而不现实的事，说是肥皂泡的幻灭。美国著名作家马克吐温写过富有激情的句子来歌颂它："肥皂泡，你呀，自然界最激动人心的和最奇异的现象。"而肥皂泡中蕴含了丰富的数学问题，却鲜为人知。

A.马兰戈尼效应

物理学家对它有兴趣，通过它可以研究表面张力、研究光在薄膜上的干涉作用、研究物质的吸附作用等等。不过岂止物理学家，数学家对它有兴趣，通过它研究最小曲面，研究泛函的极值；生物学家对它有兴趣，通过它研究生物体内的薄膜、研究薄膜的生化机理。力学家受它的启发研究薄膜充气结构，顷刻间就可以支起一座容纳上万人的会场。在材料的生产中，要研究肥皂泡有关的问题，如泡沫塑料、泡沫水泥；有时候还要避免泡沫的形成，因为废水中过多的泡沫会对环境造成污染。一百多年来有上千篇的学术论文发表在与肥皂泡有关的课题上，有成百的学术专著出版论及肥皂泡。

肥皂泡是非常薄的形成一个带虹彩表面的空心形体的肥皂水的膜。肥皂泡的存在时间通常很短，它们会因触碰其它物体或维持于空气中太久而破裂（地心吸力令肥皂泡上方的膜变薄）。

由于它们很脆弱，它们也成为美好但不实际的东西的隐喻。它们经常被用作孩童的玩物，但他们在艺术表演中的使用也表明它们对于成人也是很有吸引力的。肥皂泡还可能帮助解决空间的复杂的数学问题，因为他们总是会找到点或者边之间的最小表面。

肥皂泡比其他材料（包括纯净水在内）的气泡更持久，这是因为马兰戈尼效应，即由于表面张力不同的两种界面存在表面张力梯度，而使质量传送的现象。它是以意大利物理学家卡罗·马兰戈尼的名字命名的，马兰戈尼在1865年发表了这一研究成果。基本上，就肥皂泡而言，马兰戈尼效应可以稳定它的界面，让它比正常的气泡更坚固，更持久。

B. 开尔文问题

大家学习热学的时候，总会接触过开氏温标和开尔文(Kelvin, K) 这个温度单位。你可能立即联想到这个单位所纪念的科学家的名字一定就是开尔文了。你答对了一半。他原名威廉·汤姆逊，后来因为他在科学上的成就和对大西洋电缆工程的贡献，获英女皇授予开尔文勋爵衔，所以后世才改称他为开尔文。

开尔文对泡沫形状的结构情有独钟："如果你吹一个肥皂泡并进行观察，你可以对它进行一生的研究并能从中获得一个又一个物理定律,并且由它引出一堂又一堂的物理课程。"

1、 开尔文问题的提出

具有相同体积的同种泡泡放在一起，应该是什么样的结构？1887年，开尔文提出了著名的开尔文问题: 如果将三维空间细分为若干个小部分，保证接触面积最小，这些细小的部分应该是什么形状呢？这个问题引发了人类对完美空间的不倦追求。

对于二维平面来说，这个问题就是著名的蜂窝问题：蜂房的横截面是什么形状才能保证消耗最少的蜂蜡？而直到1999年T.黑尔才证明了：在无穷多可能的形状中，由正六边形组成的平面网络是效率最高，也就是最节省蜂蜡的方法。

对于三维情况，开尔文认为一种现在称为开尔文胞体的图形是最优解。这种胞体是一种截顶正八面体，它由八个正六边形和六个正方形组成。开尔文相信经由这些胞体所构成的系统能最有效地将空间划分为等体积晶格，即将构建材料最小化，但是，他无法证明这个猜想的正确性。

2、 开尔文猜想的解决

1993年，两位物理学家威尔和弗兰出人意料地否定了开尔文猜想。他们对开尔文胞体加以改进，发现了一种新形体，人们将其命名为威尔-弗兰泡沫。 "水立方"是北京奥运会国家游泳中心，它的膜结构是世界之最。它是根据细胞排列形式和肥皂泡天然结构设计而成的，这种形态在建筑结构中从来没有出现过，创意十分奇特。其设计创意运用到威尔-弗兰泡沫理念，但是，人们依然没有证明这是否是最终解。

阳光谷，位于上海世博园的阳光谷是中国第一的索膜结构建筑，其特殊之处在于柔性，白色膜布的最大风摆幅可以达到上下3米，大风吹来，膜布能随风起舞。而这种膜结构和微分几何中的极小曲面关系密切。

3、 开尔文问题的新进展

2009年，英国巴斯大学博士鲁杰罗·加布莱利发表论文说，他发现了开尔文问题的一种新解答。他提出的结构由4种不同的"泡泡"组成，其小单元接触界面也小于开尔文结构的接触界面，虽然还无法超越"水立方泡泡"结构的接触界面，但这是一种新思路，很可能会在将来突破相关纪录。巴斯大学发布的新闻公报说，加布莱利的发现不仅是数学领域的一项进展，还将有助于研发人造骨骼等材料的最优结构。

C.曲面细分&极小曲面

在数学中，极小曲面是指平均曲率为零的曲面。举例来说，满足某些约束条件的面积最小的曲面。物理学中，由最小化面积而得到的极小曲面的实例可以是沾了肥皂液后吹出的肥皂泡。肥皂泡的极薄的表面薄膜称为皂液膜，这是满足周边空气条件和肥皂泡吹制器形状的表面积最小的表面。

20 世纪50 年代，新设计学派提出的"极小曲面"理念开创了现代张拉膜结构设计的先河。基于这种理论，对于特定边界条件得到的膜结构表面积最小，从而耗能最少。这类膜建筑的主要结构特点是预应力在整个结构中均匀分布。

例如，东京街头景观——极小曲面亭、纽约科学馆中的极小曲面华盖、德国boxel实验馆中由2000 多个啤酒箱组成的极小曲面和厦门园博园中的极小曲面建筑。

可以说现代的一些建筑师喜欢做曲面的建筑，为了降低成本，通常的做法往往是化曲为直，用种类有限而数量巨大的多边形来拼合出外表皮。这是蕴含着极其复杂的算法的，通常是各大曲面设计所的核心机密，算法好坏的一个评判标准是表皮的流畅程度。

慕尼黑奥运会场馆：

事实上，肥皂泡还有重要的科学背景。2013 年，美国科学新闻网站www.Livescience.com 刊登出了由世界各国科学家们鼎力推荐的十大影响世界文明进程的"魅力方程"，极小曲面方程便在其中。"这个方程在某种程度上解释了人们吹出的那些肥皂泡的秘密。"美国数学家、首届美国国家杰出教学奖获得者Frank Morgan 在推荐时表示，这个非线性方程描述了美丽肥皂泡背后的数学。肥皂泡蕴含的极小曲面问题与偏微分方程、微分几何、复变函数、变分法、拓扑学等多个方向都有着十分重要的联系，向人们展示了曲面的美感和几何的魅力。

2019年阿贝尔奖揭晓，挪威科学与文学院公布年度阿贝尔奖获结果。获奖者是来自美国德州大学的教授凯伦·乌伦贝克（Karen Uhlenbeck），也是该奖自2003年设立以来的首位女性获奖者。奖项表彰她在"几何偏微分方程、规范理论和可积系统的开创性贡献，以及她在分析、几何和数学物理领域的工作上的深远影响。"

凯伦·乌伦贝克因其在几何分析和规范理论方面的基础工作获得了 2019 年的阿贝尔奖，她的贡献显著改变了数学领域。她的理论彻底改变了我们对于极小曲面（minimal surface）的理解，例如肥皂泡的曲面，以及更为广泛、更高维度的最小化问题。'阿贝尔奖委员会主席 Hans Munthe-Kaas 表示。

'肥皂泡'是数学家称之为优化问题的一个例子，这些问题通常非常困难且不知道有多少个解。'你可以提出这样一个问题，你在 n 维空间中有一个肥皂泡，'乌伦贝克介绍道，'事先你不知道肥皂泡的最小形状会是什么。'

宇宙经常是懒惰的，总会寻求能耗最少的解决方案。在平面中，我们可以简单地说明优化问题：两点之间的最短距离是直线。即使在像地球这样的曲面上，问题也有一个简单的答案——一个被称为大圆的弧。但在肥皂泡中——三维空间中的二维表面——问题就会变得复杂。为了使表面张力最小化，气泡会形成具有最小面积的形状——球体。当两个或多个气泡彼此接触，或在扭曲的金属环内部形成肥皂膜时，气泡的形状会变得更复杂，但仍遵循最小面积的规律。

目前，充气和薄膜结构使用的范围愈来愈广，从充气屋顶、充气大厅、充气枕头、充气床到充气玩具，不一而足。薄膜结构也日益扩展它的市场，古老的油布伞、船上的帆都可以看作这类薄膜结构，现在薄膜屋顶、薄膜帐篷用得也很普及。

D.拓扑学中应用

查看一下全世界任意一个城市的任何一张地铁线路图，你发现了什么？不像地图册里那些显示了一条路所有拐弯线路的地图，地铁线路图相对简单，只有直线、圆圈和平滑的曲线（可以参考伦敦、北京或华盛顿特区的地铁线路图），但地铁实际的运行线路并非这么简单，站与站之间要经过一系列的弯道。尽管如此，地铁线路图依然能帮助乘客导航。为什么它遗漏了这么多信息，却还能导航？

这个问题可以用拓扑学这一数学分支来回答。拓扑学与几何学相关，主要研究形状在拓展、缩拢、拉伸和扭曲时的变形（"拓扑学"一词来源于希腊语，原意是位置、研究或测量）。拓扑学所研究的变形必须遵循一个规则：不能破坏初始形状的完整性。例如，切割后再粘在一起的形状不能作为拓扑学的研究对象。相反，将橡皮筋拉伸到极限，揉成一个球，再把它扭成一块椒盐脆饼的形状，最后的形状就属于拓扑学的研究范围。简言之，在拓扑学中，新形状必须能通过一个连续的动作恢复到初始形状。只要可以，按照拓扑学的术语来说，这两个形状就是等量的。

现在，地铁线路图和地铁的实际运行线路之间的关系就明朗了。地铁线路图是地铁实际运行线路的一个拓扑变形，从某种意义上说，线路图是运行线路被拉伸和抚平后的结果，就好像地铁线路是橡皮泥做的。在拓扑学看来，这两个形状——地铁线路图和实际运行线路——是相同的。

总之，从肥皂泡引申开来，与它有关的问题是如此之多，如果把它涉及的方方面面都研究清楚，不仅一个人的毕生之力不够用。就是人类集体之力，也不是一朝一夕能够弄清楚的，你有兴趣试试吗？

王国维在《人间词话》中将词分为有我之境与无我之境，借用丘成桐先生的观点，数学研究当然也有境界的概念，在某种程度上也可谈有我之境、无我之境。肥皂泡问题生发于现实中的买地问题，由生活引导，可谓无我之境；但随后数学家们不懈的证明推动理论的发展，可谓有我之境矣。

参考文献：

1. 自然的魅力——水立方与肥皂泡理论.张昌芳,刘家福.百度文库；

2. 蜂窝与数学.百度文库；

3. 发现"开尔文问题"新解.科学网；

4. 美丽肥皂泡背后的数学.林馨怡,保继光.数学文化.

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