相对论时空的绝对性和相对性（相对论之功和能的相对性）

当我们探讨功和动能之间的关系时，我们利用了牛顿运动定律。当我们根据相对性原理推广这些定律时，我们需要相应地推广动能方程。

相对论动能

我们利用功能定理，开始用功的定义。当合力和位移在相同的方向时，合力做的功是W=。我们把适合牛顿第二定律的相对论概念的公式（见《相对论之动量、牛顿第二定律和质量的相对性》）代入这个式子，得到静止质量为m的粒子从运动到所做的功：

(1)

要推导作为速度的函数——动能的相对论表达式，我们应该把它换成对速度的积分。为此我们首先想到，粒子的动能等于它从静止到获得运动速度合力对它所做的功：。于是我们令速度在点为零，在点为点为。我们把（1)式中的换成，这样就不会使积分变量和最后的速度混淆起来。即是粒子在合力的作用下从静止加速到速度的x分量。我们也认识到，和分别是和在时间间隔dt的无穷小变量。因为和，我们可以把（1）式中的重新写成:

将上面各变换式代入方程（1）得到

(2)

计算这个定积分得到相对论动能公式

（相对论动能） (3)

当趋近于时，动能趋近于无穷大。当比小很多时，动能应该趋近于牛顿的动能表达式：（见图1）。

图1 粒子的动能曲线：静止质量为m，速度为v

要证明这个结论可利用二项式定理展开根式，证明如下：

代入（3）得到

（4）

忽略高次项，得到牛顿动能的近似表达式：

静止能量和=m

一个运动粒子的动能方程包含与运动有关的项和与运动无关的项。似乎粒子的动能是某些总能量和它在静止时的能量之差。于是我们可以重新写方程（3）

(粒子的总能量） (5)

粒子在静止时（)，。这个能量与粒子静止质量有关而与运动无关，因此被称作粒子的静止能量。