一元二次方程应用题分解题（一元二次方程的解法以及常见应用题类型）

一元二次方程的解法

(1)直接开平方法：方程符合x²＝m(m≥0)或(x±m)²＝n(n≥0)的形式；

(2)配方法：①二次项系数化为1；②移项；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；④原方程写成a(x＋h)²＝k的形式；⑤当k≥0时，直接开平方求解；

(3)公式法：①化为一般形式；②确定a，b，c的值；③求出b²－4ac的值；④当b²－4ac≥0时，将a，b，c的值代入得x＝________________；

(4)因式分解法：①将方程右边化为0；②将方程左边进行因式分解；③令每个因式为零，得两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得原方程的两个根．

解方程思想：

1.优先考虑因式分解法与直接开平方法；

(1)若缺少常数项用因式分解法求解；

(2)若缺少一次项，用平方差分解因式法或直接开平方法。

2.如果二次项系数为1，一次项系数为偶数，考虑使用配方法。

3.如无要求，其余使用公式法求解。

4.整体因式分解法的思想要拥有。

5.拿到方程先观察，合理进行化简。

6.实际问题方程更要合理整理化简，选择恰当的解法。

实际问题常见类型

1.传播问题

若传染源的数量是a，传播速度是x，则一轮传染后，感染者总数是a ax,二轮传染时，传染源数量为a ax，传播速度不变下，所以二轮传染后，感染者总数是

a ax x(a ax)

=a[1 x x(1 x)]

=a(1 x)²

注意：

第二轮传染中，传染源的数量是a(1 x),新传染的数量是ax(1 x);

解法，应用直接开平方法。

要对答案进行取舍。

例： 鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为多少？

2.数字问题

若一个两位数的十位上的数字为a，个位上数字为b，则这个数是10a b;若一个三位数的百位上的数字是a，十位上的数字为b，个位上数字为c，则这个数是100a 10b c.

例：一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字与十位数字互换后平方，所得的数值比原来的两位数大138，求原来的两位数？

3.平均增长率问题

a为起始量，Q为终止量，n为增长（或降低）的次数，平均增长量公式为

a(1 x)ⁿ=Q （x为平均增长率）； a(1-x)ⁿ=Q （x为平均降低率）

例．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2017年投入5000万元，预计2019年投入8000万元．设教育经费的年平均增长率为x，则列出的方程为____________．

4.商品销售问题

总利润=单件利润×销售件数

销售件数=原销售件数 降价增加件数 =原销售件数-涨价减少件数

考虑到对定价的限制；注意商家的态度（更加让利，货源紧张压货）

解方程时先化简整理，思考用十字相乘分解因式或配方法优先

例1：某商场销售一批衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售量，增加盈利，减少库存，商场决定采用降价措施，经调查发现，如果每件衬衫的售价降低1元，那么商场平均每天可多售出2件．商场若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元?

例2：某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是________.

5.图形面积问题

涉及常见公式。

三角形面积 矩形面积 菱形面积

梯形面积 圆面积 勾股定理 周长公式

图形问题常将数量关系隐含在图形中，审题时需要结合图形分析，当所涉及的图形是不规则图形时，其关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，然后通过规则图形面积和或差列方程。

面积问题常见类型：

①如图①，阴影部分面积为：S＝(a－2x)(b－2x)；

图①

②如图②，③，阴影部分的面积为：S＝(a－x)(b－x)．

例：如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540 m²，求道路的宽．如果设小路宽为x m，根据题意，所列方程正确的是( )

A．(20－x)(32－x)＝540

B．(20－x)(32－x)＝100

C．(20＋x)(32－x)＝540

D．(20－x)(32＋x)＝540

6.握手问题（循环问题）

比赛循环；互相握手；

互发问候短信（互赠贺卡）；

平面内n个点，构成线段条数；

多边形对角线条数；

1 2 … n=?

规律关系式

分清互联次数；对应好相应的公式；整理成一般形式求解；检验解是否合理。

例1：某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场多少个？

例2：新年来临，某团队若干人互发微信进行问候，共发了30条微信，问这个团队共有几人？

例3： 如图有一个三角形点阵，从上向下有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点。

（1）容易发现，10是三角点阵中前4行的点数之和．你能发现300是前多少行的点数之和吗？

（2）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．

通过以上归纳，希望能够有一点收获。

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