跨学科小学数学题（很多学生不会做小学数学题）

八省联考中的小学数学，作者：benqu

对于2021年参加高考的高三学生来说，备受关注的一次考试就是八省联考。这是针对2021年高考改革的八个省份，由教育部命制语文、数学、英语试题，以便考生熟悉改革后高考的题型和考察内容。最近，八个省份陆续公布了成绩，但数学成绩都不理想，江苏省平均分也只有69分，其他省份平均分在52分左右。

学生的平均分为何不佳？如何使他们提高成绩？我作为一名熟悉小考、中考、高考、考研等国内外数学考试的“题库”，早已料到中国学生存在的薄弱点。其中一个原因，是和小学教学相关。这次考试很多题目都是以小学数学和简单的数学知识作为背景的，很多学生小学数学基础不扎实，到了中学后，只会题海战术刷高考题，而有些小学数学的思维和方法，他们没有建立起来，也没有学过相应的教材或讲义。因此，他们漏洞在“八省联考”暴露出来。

下面我举例几题说明。“八省联考”一共22道题，以下几个题目，仅仅通过小学知识就可以解答。这反映了目前高考的命题趋势：难度较低，对数学思维和基础素养有一定的考察。

无论是小学生学数学还是学编程，首先都打下最基础的离散数学知识，其中第一个知识点就是逻辑和集合，最基本的智能思维。什么是集合？把几个事物放在一个容器就是集合。{赵，钱，孙，李}是一个集合，{1,2,3,4}也是一个集合。

小学生没有学过集合的运算和符号（交集、并集、补集、包含），但用几句话举例就可以教给他们了。设集合的全集R={1,2,3,4}，设M={1,2}，则M的补集就是{3,4}。M包含于N，可以设N={2,3,4}。

再看题目求解的式子，N的补集是{1}，M与它的并集就是{1，2}，就是M。

这是小学数学应该掌握的最基本的排列组合知识。学生通过穷举法就可以解答。如果小学生不会解答，他的难点在于不会将文字叙述转化成简单的数学模型。

设三位同学编号1,2,3，三张卡片编号1,2,3，三张卡片的组合方式共有6种，123,132,213,231,312,321。根据题目叙述，恰有1位同学分到相应卡片的情况有3种，132,321,213，答案为1/2。

小学生在解题中，可以发现符合条件的情况是轮换对称的。如果把题目改成：100个同学拿100张卡片，恰有一位同学拿到自己的卡片的概率。这样学生就可以学到排列组合的基础知识。一位同学拿到自己的卡片，后面的同学拿到不是自己的卡片。100张卡片，排列给100个人，有A（100,100），也就是100！阶乘个情况。第一个同学拿到自己的卡片，第二个同学拿到不是自己的卡片，依次类推，有98！个情况，根据轮换对称性，乘100。恰有一位同学拿到自己的卡片的概率，列式为98！*100/100！=1/99。通过这道题，小学生就掌握了排列组合的全排列知识，也给以后的代数学习打下了基础。得出结论，n个同学拿n张卡片，恰有一位同学拿到自己的卡片的概率是1/（n-1）。

二次多项式因式分解是初一知识，有些地方小学六年级已经学完。但这道题不需小学六年级，这道题只考了命题真假之间的矛盾，以及个位数的加减法和正负数。

题目指出，只有一个假命题。可以看出甲，乙，丙是不能同时成立的。如果丙成立，甲乙至少有一个不成立。如果甲丙成立，则乙不成立。如果乙丙成立，则甲不成立。所以，丁一定是真命题。

所以两个根是异号的。分情况讨论（1）甲乙成立，这与丁矛盾。排除（2）甲丙成立，x=1，另一个x=1。这与丁矛盾。（3） 乙丙成立，x=3，另一个x=-1，符合丁。所以，只有甲是假命题。

从表面上看，这是一个多项式，但实际考察了两个小学数学知识。第一是最简单的等比数列。两个数之间的比例相等，比如2,6,18,54……，这就是等比数列。这道题是一个等比数列的和的展开式。第一项是（1 x）^2，公比是（1 x）。小学数学有一个基础知识，如何给等差数列和等比数列求和。小学数学考试的计算题第一题经常是数列求和。给等比数列求和，就是给数列的所有项乘公比，再作差即可。

我们计算等比数列的和，得到

。下面是本题考查的第二个知识，我们在数线段、数三角时候学的排列组合乘法原理。求x^2的系数，分母是x，分子是x^3。分子有左右两个因式，右式取x^2，左式需要取x，从8个（1 x）的因式取1个x，有8种取法。

右式取2x，左式需要取x^2，从8个（1 x）的因式取2个x，有8*7/2=28种取法。28*2x=56x。

右式取1，左式需要取x^3，从8个（1 x）的因式取3个x，有8*7*6/3*2=56种取法。

所以本题答案就是这三种情况加在一起，120种取法。

这道题和常规的高中立体几何不同，很多学生看到题就不会做。为什么呢？因为这也是一道考察小学数学背景的题目。本题形式新颖，但对高中生做还是小学生做，难度是一样的。这道题有几个小难点，需要一定思考才能解决。

第一个难点是极限思想，这道题球的半径是5，而底面的半径也是5，所以底面恰好在直径的圆周上。这需要你想到这种极限情况。

接下来，我们沿纵向从直接的圆周，切开球的截面，就知道了本题考查的是平面图形，如图所示。根据勾股定理，已知5和4，求得圆台的高是3。那么，如何求圆台的体积？第二个难点是需要有判断立体图形截面图的空间思维。空间思维是小学科学、机械、美术等学科都必须涉及的教学内容。

我们如图可看出圆台的形状是两个圆锥的差，从截面图中将圆锥补充完整，即可利用圆锥的体积公式，求出两个圆锥的体积之差=1/3(π5*5*15-π4*4*12)=61π

这题比上题简单，正方体是最简单的考法，学生即使没训练过空间思维，在橡皮上画图也可直接解答。学生能想象或绘制出正方体的立体图，即可判断正方体上和正方体内哪些直线是相互平行、垂直。

如果把这道题改一下：正二十面体上的棱，可以构成多少对平行线？这就是一道小学竞赛题。需要学生想象正二十面体的空间形状，判断正二十面体的对棱平行。正二十面体有30条棱，每条棱有一个平行的对棱，所以答案为30。

这道题仍然是小学概率题的列举法，无论对小学生还是中学生都是送分题。题目问1,2至少1个调整的概率，就是1减去1,2都不调整的概率。1-0.9*0.8=0.28。

第二问是期望，小学生如果还没学过期望的术语，但应理解期望的别名“预期的均值”。三个部件调整的概率分别是0.1,0.2,0.3，那么预期总共调整几个部件？这个均值就是0.1 0.2 0.3=0.6。学生如果不理解，可以先问，掷三个骰子，点数之和的期望是多少？学生可以发现3.5 3.5 3.5=10.5。数学家卡尔达诺就是最早通过掷骰子提出并记录了期望的概念。

这道立体几何本质又是一道小学题。第一问考察的是阅读理解，题目给出了正四面体的曲率计算公式。第一问四棱锥的曲率。正四面体的公式是4*（2π-3*π/3）。

正四面体有五个顶点，首先要5*2π。底面有四个顶点，每个顶点有三个面角，分别是90度，45度，45度，共计4*（π/4 π/4 π/2）=4π。另外一个顶点，有四个面角，都是90度，共计4*π/2=2π。所以，正四棱锥的曲率套用公式得5*2π-4π-2π=4π。

第二问问任何多面体的情况。题目给出了欧拉公式。V顶点数-E棱数 F面数=2。欧拉公式在初中课本和一些小学教材上就有，学生应该知道，所以这个提示是多余的。题目给出这个提示，就是直接告诉你此题的解题方法是要套用这个公式，也就是要把这道题的分数送给你。但如果稍加难度，不提示这个公式，学生也应该知道，问任何多面体有关的问题，先要考虑欧拉公式。

第二问如何套用公式，采用的是在高一化学学习原子结构时，一个基本的方法叫均摊法。小学数学的一些空间思维题就有这个方法。例如足球是由五边形和六边形组成的多面体，六边形是20个，问五边形多少个？答案是12个。这是我小学时一道小学奥赛题，距今已经20多年了。还有碳60有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形。这是一套中学化学题。解决这种多面体的结构问题，方法就是均摊法。多面体的任何一条棱都被两个面公用。

根据题目的公式：总曲率=2πV-所有面内角和。题目要证明总曲率为4π，那么V-所有面内角和/2π=2，需要证所有面内角和=2π（E-F）。另外一个小学知识，是多面形内角和（n-2）*2π，所有面内角和加在一起，是-2πF π面数和。根据均摊法，2E=面数和。就可以得出所有面内角和=2π（E-F）。

总结：小学数学是数学的基础，是纯粹的数学。一些高中生采用题海战术，数学成绩不佳。因为他们在小学时没有打好基础，内功不足。所以，小学数学的教育切不可降低要求，否则会给今后的数学学习带来隐患。这次八省联考的考试，仅凭小学数学知识能解答的题目有54分。而其他题目也不乏需要小学数学的基础。而这次考试的平均分在50左右，说明大部分高中生通过题海战术都处在这个分数段。学数学应该“四两拨千斤”。如果他们能在小学时接受更多思维的拓展，在学习数学最好的年龄段练好内功，他们在高中就不需要题海战术，只需要有的放矢地扩充数学体系。对于智商中等的学生来说，打好小学数学基础，这次考试的平均分应该达到110-120分左右，再补充高中数学的知识点，这张试卷取得满分只是仔细程度的问题。这张试卷并没有考察复杂的思维能力，仍然是只涉及高中基础知识和简单思维的低难度试卷。