数学中自然对数是什么（数学为何如此之美）

来源：数学真美

数学为什么如此之美？为何吸引着无数的数学家为之痴迷？因为它脱胎于“自由艺术”。

公元5世纪，罗马人盛行“自由艺术”，它包括：数学、几何、天文学、音乐、语法、演说、辩论，在欧洲中世纪时，“自由艺术”被称为“七艺”。精通“七艺”的人，会普遍获得人们的尊敬，特别是“数学涵养”的高低，更是身份和地位的象征。在古希腊，柏拉图甚至曾在他所创办的学园门口写着“不懂几何学者不得入内”的牌子。

数学与音乐在很长的一段时间里是相提并论的，二者几乎融为一体，人们称之为“数理音乐”，爱因斯坦对此有过这样的评价：“这个世界可以由音符组成，也可以由数学的公式组成，音符加数字就是真正的完整世界”。

“数学”与“音乐”比起来，“数学”显得更加美妙，德国数学家克莱因曾对数学之美作出过这样的评价：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”

数学为何美妙如斯？因为它“法乎自然”，亚里士多德说：“大自然的每一个领域都是美妙绝伦的。”

自然的，就是美的，就是和谐的。大自然的鬼斧神工，展现出了无与伦比的“自然”之美。自然为何美得如此惊艳？在于它的 “无穷”与“极限”的“对立统一”。

人类从远古的夜空走来，抬头昂望星空，面对着浩瀚的宇宙充满着瑰丽的想象和无限的好奇与困惑，这就是人类对“无穷”最为朴素的认识。

“无穷”的宇宙，到底有没有尽头？人类不断地仰天叩问苍穹。

“尽头”，这是对“极限”最为朴素的认识。

大自然是美的，同时也是残酷的，正如雨果所说：“大自然是善良的慈母，同时也是残酷的屠夫。”在人类的早期，人们在强大的“自然”面前，对于无法抗拒的“自然力量”归咎于神。在漫长的人类历史长河中，“神学”曾经具有至高无上的统治地位，严重地阻碍了科学的发展。

在遥远的古希腊，被后人称为“科学与哲学始祖”的泰勒斯首先打破了“神学”的绝对统治地位。泰勒斯虽然是一个“有神论”者，但是他认为人们在处理问题时，应该遵循 “自然”的客观规律，而不是盲目的顺从所谓的神灵的指引。

在泰勒斯的启迪下，同时代的思想家们，开始将“科学、哲学”从“宗教”中分离出来，踏上了探索“自然”规律和追求真理的光明大道。

在漫长的人类发展史中，人们对“无穷”与“极限”的认识越来越深刻，最终发现了数学中“最自然”、“最美”的一个数：“自然底数e”。

这是一个将“无穷”与“极限”融为一体的“无理数”，这个神秘的数“e”最先由约翰纳皮提出，接着由约翰.伯努利首次把它当作“常数”，由莱布尼茨第一次在与友人的信件中使用，后来由欧拉正式命名为“自然底数e”。

什么是“自然底数e”呢？在数学中是这样描述的：对于数列{ ( 1 1/n )^n }，当n趋于“正无穷时”该“数列”所取得的“极限”就是“e”，即：e = lim (1 1/n)^n。通过二项式展开，取其部分和，可得e的近似计算式e = 1 1 1/2! 1/3! 1/4! …… 1/n!，n越大，越接近“e”的真值。

“自然底数e”是数学史上第一个被严格证明的“超越数”，它不是随意构造的，而是“自然”存在的。有人说，这样一个神秘的“自然底数e”或许隐藏着“大自然”的普遍规律。

对于每一个中学生来说，“自然底数e”再熟悉不过了，它是“自然对数”的底。以e为底的“指数函数”的重要方面在于它的“函数”与其“导数”相等。

在“自然底数e”被发现之前，人们在使用“对数”的很长的一段时间里是以“10”为底的，被称为“常用对数”。

“常用对数”虽然大大地简化了复杂的计算，但是依然显得十分烦琐，直到人们将“e”做为“对数”的底时，使一些烦琐的计算变得更加简约。

神秘的“e”在科学研究中，它的身影随处可见，最著名的是有着最美公式之称的“欧拉公式”。

“欧拉公式”是数学里最令人着迷的一个公式，它将“自然底数e”、“圆周率π”、“虚数单位i”和“自然数的单位1”和人类的重大发现“0”等这些划时代的“伟大发现”统一在了同一个公式中，数学家们称赞它是“上帝创造的公式”，它将“指数函数”的“定义域”扩大到“复数”，建立了“三角函数”和“指数函数”的关系，它在“复变函数论”被赞誉为“数学中的天桥”。

“欧拉公式”之所以如此美妙，在于它的“自然”。对于一个完美的圆来说，π才是“自然”的，对于最快速的指数增长来说，e才是“自然”的。

在大自然中，美丽的“对数螺线”随处可见：鹦鹉螺的贝壳、菊的种子、鹰接近它们的猎物时的飞行路线、蜘蛛网、夜空中星系的旋臂……这些美妙的自然图案可以用数学表达式来描述：φkρ=αe ，其中α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。

在科学研究中，人们可以依据“e”来描述事物变化的周期：物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变、复利的计算……

包罗万象的大自然，似乎总是符合“e”的表达式(1 1/x)^x 的描述：当x趋近“无穷”时，它的结果在“无限变化”中逼近一个固定值“e”。

这个神秘的“自然底数”，似乎在向人们暗示着宇宙的形成、发展及衰亡的自然规律。

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