数学中自然对数是什么(数学为何如此之美)

来源:数学真美

数学中自然对数是什么(数学为何如此之美)(1)

数学为什么如此之美?为何吸引着无数的数学家为之痴迷?因为它脱胎于“自由艺术”。

公元5世纪,罗马人盛行“自由艺术”,它包括:数学、几何、天文学、音乐、语法、演说、辩论,在欧洲中世纪时,“自由艺术”被称为“七艺”。精通“七艺”的人,会普遍获得人们的尊敬,特别是“数学涵养”的高低,更是身份和地位的象征。在古希腊,柏拉图甚至曾在他所创办的学园门口写着“不懂几何学者不得入内”的牌子。

数学与音乐在很长的一段时间里是相提并论的,二者几乎融为一体,人们称之为“数理音乐”,爱因斯坦对此有过这样的评价:“这个世界可以由音符组成,也可以由数学的公式组成,音符加数字就是真正的完整世界”。

“数学”与“音乐”比起来,“数学”显得更加美妙,德国数学家克莱因曾对数学之美作出过这样的评价:“音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可改善物质生活,但数学能给予以上的一切。”

数学中自然对数是什么(数学为何如此之美)(2)

数学为何美妙如斯?因为它“法乎自然”,亚里士多德说:“大自然的每一个领域都是美妙绝伦的。”

自然的,就是美的,就是和谐的。大自然的鬼斧神工,展现出了无与伦比的“自然”之美。自然为何美得如此惊艳?在于它的 “无穷”与“极限”的“对立统一”。

人类从远古的夜空走来,抬头昂望星空,面对着浩瀚的宇宙充满着瑰丽的想象和无限的好奇与困惑,这就是人类对“无穷”最为朴素的认识。

“无穷”的宇宙,到底有没有尽头?人类不断地仰天叩问苍穹。

“尽头”,这是对“极限”最为朴素的认识。

大自然是美的,同时也是残酷的,正如雨果所说:“大自然是善良的慈母,同时也是残酷的屠夫。”在人类的早期,人们在强大的“自然”面前,对于无法抗拒的“自然力量”归咎于神。在漫长的人类历史长河中,“神学”曾经具有至高无上的统治地位,严重地阻碍了科学的发展。

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在遥远的古希腊,被后人称为“科学与哲学始祖”的泰勒斯首先打破了“神学”的绝对统治地位。泰勒斯虽然是一个“有神论”者,但是他认为人们在处理问题时,应该遵循 “自然”的客观规律,而不是盲目的顺从所谓的神灵的指引。

在泰勒斯的启迪下,同时代的思想家们,开始将“科学、哲学”从“宗教”中分离出来,踏上了探索“自然”规律和追求真理的光明大道。

在漫长的人类发展史中,人们对“无穷”与“极限”的认识越来越深刻,最终发现了数学中“最自然”、“最美”的一个数:“自然底数e”。

这是一个将“无穷”与“极限”融为一体的“无理数”,这个神秘的数“e”最先由约翰纳皮提出,接着由约翰.伯努利首次把它当作“常数”,由莱布尼茨第一次在与友人的信件中使用,后来由欧拉正式命名为“自然底数e”。

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什么是“自然底数e”呢?在数学中是这样描述的:对于数列{ ( 1 1/n )^n },当n趋于“正无穷时”该“数列”所取得的“极限”就是“e”,即:e = lim (1 1/n)^n。通过二项式展开,取其部分和,可得e的近似计算式e = 1 1 1/2! 1/3! 1/4! …… 1/n!,n越大,越接近“e”的真值。

“自然底数e”是数学史上第一个被严格证明的“超越数”,它不是随意构造的,而是“自然”存在的。有人说,这样一个神秘的“自然底数e”或许隐藏着“大自然”的普遍规律。

对于每一个中学生来说,“自然底数e”再熟悉不过了,它是“自然对数”的底。以e为底的“指数函数”的重要方面在于它的“函数”与其“导数”相等。

在“自然底数e”被发现之前,人们在使用“对数”的很长的一段时间里是以“10”为底的,被称为“常用对数”。

“常用对数”虽然大大地简化了复杂的计算,但是依然显得十分烦琐,直到人们将“e”做为“对数”的底时,使一些烦琐的计算变得更加简约。

神秘的“e”在科学研究中,它的身影随处可见,最著名的是有着最美公式之称的“欧拉公式”。

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“欧拉公式”是数学里最令人着迷的一个公式,它将“自然底数e”、“圆周率π”、“虚数单位i”和“自然数的单位1”和人类的重大发现“0”等这些划时代的“伟大发现”统一在了同一个公式中,数学家们称赞它是“上帝创造的公式”,它将“指数函数”的“定义域”扩大到“复数”,建立了“三角函数”和“指数函数”的关系,它在“复变函数论”被赞誉为“数学中的天桥”。

“欧拉公式”之所以如此美妙,在于它的“自然”。对于一个完美的圆来说,π才是“自然”的,对于最快速的指数增长来说,e才是“自然”的。

在大自然中,美丽的“对数螺线”随处可见:鹦鹉螺的贝壳、菊的种子、鹰接近它们的猎物时的飞行路线、蜘蛛网、夜空中星系的旋臂……这些美妙的自然图案可以用数学表达式来描述:φkρ=αe ,其中α和k为常数,φ是极角,ρ是极径,e是自然对数的底。

在科学研究中,人们可以依据“e”来描述事物变化的周期:物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变、复利的计算……

数学中自然对数是什么(数学为何如此之美)(6)

包罗万象的大自然,似乎总是符合“e”的表达式(1 1/x)^x 的描述:当x趋近“无穷”时,它的结果在“无限变化”中逼近一个固定值“e”。

这个神秘的“自然底数”,似乎在向人们暗示着宇宙的形成、发展及衰亡的自然规律。

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