等腰三角形包括直角三角形（除了直角三角形和斜三角形）

作者：邵红能（科普作家，上海市城市科技学校）

来源：《知识就是力量》杂志

三角形按角分有直角三角形，锐角三角形，钝角三角形。除了咱们课本中学过的这些，你还知道哪些呢？相信你绝对没有听过彭罗斯三角形。

彭罗斯三角形最早是由瑞典艺术家奥斯卡·罗特斯维尔德在1934年制作。英国数学家罗杰·彭罗斯及其父亲遗传学家列昂尼德·彭罗斯设计并推广此图案，并在1958年2月份的《英国心理学月刊》中发表，称之为“最纯粹形式的不可能”。

彭罗斯是谁？

彭罗斯原全名罗杰·彭罗斯，是英国著名数学家、理论物理学家、爵士、牛津大学教授，为物理学、数学和几何学做了很多贡献。他还是霍金的生前好友。从1965直到1970年，霍金和彭罗斯组成一个黑洞和婴儿宇宙的研究小组，两人一道将奇点的存在性证明推广到更加一般的情况，包括早期宇宙。

▲罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）

彭罗斯先后进入伦敦大学隶属中学和伦敦大学学院，在剑桥读研究生的第二年，参加了在阿姆斯特丹召开的国际数学家大会。在那里，他对演讲者手中的目录册封面产生了兴趣。册子的封面是一幅画，埃舍尔的画《昼夜》，画里的鸟儿在向着相反的方向飞行，景色的一边是黑夜，另一边是白昼。彭罗斯被它迷住了，于是，就问演讲者是从哪里搞到的。演讲者说这幅画是埃舍尔的作品《昼夜》。于是，彭罗斯就被这些不同于任何自己所见过事物的诡异而奇妙的画面深深地吸引了。他决定自己尝试着画一些不可能有的景致，结果就想出了这个被称作为三杆的东西。这是一个看上去像是三维物体的三角形，但事实上它不可能是三维的。后来，他在杂志上发表了一篇文章，对埃舍尔表示感谢。‍

彭罗斯阶梯

彭罗斯阶梯也是一个有名的几何学悖论，指的是一个始终向上或向下但却无限循环的阶梯，可以被视为彭罗斯三角形的一个变体。这是一个由二维图形的形式表现出来的拥有4个90°拐角的四边形楼梯。由于它是个从不上升或下降的连续封闭循环图，所以，一个人可以永远在上面走下去而不会升高。据说，这些图案也是受到了荷兰画家埃舍尔那些不可能出现于现实的诡异画面启发而创作的。彭罗斯阶梯不可能在三维空间内存在，但只要放入更高阶的空间，彭罗斯阶梯就可以很容易的实现。如同莫比乌斯环、克莱因瓶。

▲《盗梦空间》中的彭罗斯阶梯。

彭罗斯贴砖

彭罗斯是一位大胆而充满豪情的学者，他对单一的图形和重复不那么感兴趣，而对无穷的变化兴味盎然。准确说来，他感兴趣的是一类“非周期性”贴砖。

1974年，他创造了一套具有革命意义的贴砖样式，这套贴砖，能够以永不重复的方式铺满在无穷平面上。它们由若干块组成一套，可以严丝合缝地铺满无穷大的平面，而构成的图案又不会重复。这可是一个难题，因为他不能使用具有二、三、四、六条对称轴的图形（如矩形、正三角形、正方形和正六边形），这些图形在无穷大的平面上会铺成周期性的重复图案。这就意味着彭罗斯只能依靠那些会在平面上留下缝隙的图形，也就是那些具有禁用对称性的图形。8年后的1982年，以色列晶体学家丹尼尔·谢赫特曼发现，某种金属合金的原子排列与之前测量的其它结果都不一样。后来，彭罗斯获得了数学圈中少有的公众知名度，谢赫特曼则赢取了诺贝尔奖。这两位学者，都违抗人类的直觉，改变了我们对自然结构的基本认识，并揭示了从高度有序的环境中出现无尽变化的可能性。

▲由“风筝”和“飞镖”组成的图案，看似规律，其实永远不会自我重复

以此为基础，彭罗斯发明了一组以他名字命名的彭罗斯贴砖。我们知道，瓷砖都是长方形或正方形的，因为我们可以用这些砖将整个地面铺满。可以用于贴砖的还有正三角和正六边形，这些贴砖贴出的图案有一个共同的地方，就是不但具有一定的对称性，还有周期性。还有些形状的砖是不能用来紧密地贴满地面的，例如正五边形。其实还可以用几种不同形状的贴砖贴满整个地面，我们将这样的一组几何形状称之为贴砖。有些特别的贴砖不仅可以用来贴满平面，贴出来的图案有很多种，而且不可能具有周期性，这类贴砖叫做非周期贴砖。在彭罗斯之前，通常的一组非周期贴砖含有很多不同的形状，即使在彭罗斯发现以他的名字命名的只有两个形状的贴砖的同一年（1974年），最好的非周期贴砖也只含有六种不同的形状。

▲彭罗斯贴砖在建筑上的应用——美国旧金山公交枢纽大楼