中考数学相似三角形的动点问题（我为什么建议这道数学中考题用三角形相似的）

2020中考数学贴心辅导每日一题（28）

2019年广州中考数学第23题

如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．

（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与点B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法．）

（2）在（1）中所作的图中，求四边形ABCD的周长．

（1）图略．

（2）分析

因为四边形ABCD的边AB，BC，CD都是已知的，所以求周长只要先求AD．

第一步，添加辅助线，构造直角三角形．

如答图，连接BD，过点C作CE⊥BD，E为垂足．

第二步，求BE．

在Rt△ABC中，依三角函数的意义，可求cos∠BAC＝AC∶AB＝4∶5＝0．8．

说明

因为如果不用图片的格式，无法上传分数，所以这里的五分之四才用小数的形式出现．

∵∠CBD＝∠CDB＝∠BAC(等边对等角，同弧所对的圆周角相等)，

在Rt△BCE中，可求BE＝BC·cos∠CBE＝6×0．8＝4．8．

评析

显然，如果不用三角函数求BE，还可以利用△BCE∽△ABC．因为是直角三角形相似，所以推荐用三角形相似的“升级版”——三角函数．

第三步，求DA．

依“三线合一”得ED＝EB，∴BD＝2EB＝9．6．

∵AB是直径，

∴∠BDA＝90º．

依勾股定理，得

DA＝2．8．

第四步，求周长．

∴四边形ABCD的周长为24．8．

再强调一遍：三角函数的本质就是两个直角三角形相似．本题中∠BEC是“人工”构造的直角，而∠ADB要利用圆周角定理证得是直角.