高中数学三角函数万能公式推导（高中数学中三角函数公式多）

sin对 cos说：“世界上最遥远的距离，不是生与死的距离，而是在π/2那里！”

“三角学”，陌生或不陌生，它就在那里！英文trigonometry，法文trigonométrie，德文 Trigonometria，都来自拉丁文trigonometria。原意是三角形的测量，目的是研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系，达到测量的目的。早期的三角学仅仅是天文学的一部分，后来研究范围逐渐扩大，经过几代人的努力，变成独立的数学科目。现在，三角学的研究范围已不限于三角形，成为数理分析的基础和研究实用科学的必备工具。

为研究天文学，创立了三角学

众所周知，古希腊时期的数学家多投身于平面几何的研究，数学的灵魂是其美妙的逻辑性，比如以欧几里得一派最为典型。而天文学家更需要的是测量和算学，当时“天球”的理论比较盛行，也就是说宇宙中地球是中心，天上的太阳，月亮，星星，在地球的外面，它们都镶嵌在巨大的球面上，而地球的就理所应当的充当了“球心”的位置。

地心说示意图

地球或者其他天体总是会周期性的转动，在运动过程中，总是需要知道天体相对于地球的弧长和角度的问题，在众多天文学家之中，始终占据C位的，就是我们今天的主角之一，因为他的出现，“三角学”应运而生！

喜帕恰斯--三角学之父

Hipparchus（约公元前180年-公元前125年），希腊天文学家，数学家。此人名字甚多，据我所知，有希帕霍斯，喜帕恰斯，希巴克斯、依巴谷、伊巴谷等，一般来说在天文上多称之为依巴谷，而数学上称为喜帕恰斯。

身为天文学家，例行工作便是要仰望星空，那么有一套好装备是很必要的，咱们喜帕恰斯定是一个“强迫症”患者，观象台的建造必须完美，结果是“强迫症”胜利了，他在爱琴海的罗得建立了观象台，并且这些仪器沿用了1700多年，因为简直太好用了！喜帕恰斯在这个观象台做了一件后人难以望其项背的事情，就是测量地球和月亮的距离。测量方法是视差法。

我们先了解一下什么是视差法？视差法是一种利用不同视点对同一物体的视差来测定距离的方法。

右眼观察物体的视觉效果

左眼观察物体的视觉效果

大家应该看过抗战电视剧中的狙击手测距离的方法，经常对着敌人点个赞（伸出一只大拇指），然后距离就算出来了，狙击手就准备射击了。事实上，这就是利用了视差的计算方法。

电视剧中的视差法截图

由于我们成年人两瞳孔的间隔约为自己臂长的十分之一，这时候只需要面对鬼子，伸出右手大拇处于两眼之间，先闭上左眼，用右眼通过拇指的一侧对准鬼子，然后闭上右眼，用左眼通过拇指同一侧观察，记住左眼视线对准的物体（比如一扇窗），估算出这个窗与鬼子之间的距离，然后乘以10，便是要测出的距离。

当然喜帕恰斯的观测和计算方法要精准很多，他利用月亮视差测量地月距离，认为地月距离是地球直径的三十倍，而之后的一千九百年间，月亮就是人们所知离地球有多远的唯一天体，直到天文望远镜的发明，人们才直到第二颗星球与地球的距离。

有人会有疑问，视差法观测人的时候总是其他的参照物（我们刚才说的一扇窗），那么观测月亮的时候如何找到“那扇窗”呢？当然有了，喜帕恰斯找的参照物是天上的星星。在适当的变化条件下，通过测量月亮相对于星星的位置，就能测定月亮的视差，并算出其距离，喜帕恰斯就是抓住了一次月食的机会，搞定了地月之间的距离。

我们在惊叹喜帕恰斯的惊人计算力的时候，不得不佩服他的好视力，没有错，喜帕恰斯的视力非常好，他认为《夜空中最亮的星》的歌词是有问题的，因为夜空中最亮的星不是一颗，而一共有20颗，它们叫一等星，亮度次之的叫二等星，然后是三等星，四等星，五等星，肉眼刚刚可见的是六等星。这种星体的排列体系一直沿用到今天！

无论是计算距离时，还是计算“天球”运动时，球面上的圆心角对应的弦长是十分必要的，喜帕恰斯对球面上的角度和距离进行计算，制作了一个和现今三角函数表相仿的“弦表”，即在固定的圆内，不同的圆心角所对应的弦长（相当于现在圆心角一半的正弦线的两倍）的表。对于一定度数的圆弧，可以得到相应弦的长度。虽然目前还没有直接的文献载有喜帕恰斯的“弦表”，但通过后人的资料记载，他已经算出了0°到90°之间，每隔半度的正弦值，并且传说中在他的计算方法中，有三角函数半角公式的影子。

“三角学之父”的著作现如今均已失传，但是在喜帕恰斯之后的300年，另一个人的出现，完美继承和发扬了三角学，并且著作保留至今！他就是劳蒂乌斯·托勒密！

托勒密--发扬光大

希腊天文学家，数学家克劳蒂乌斯·托勒密（约100-170年），相信很多小朋友是由于“托勒密定理”才知晓这个人的，事实上，托勒密最享盛名的著作是《大成》，该书是古希腊天文学的光辉顶点，对宇宙模型给出了完整的数学描述，包括有太阳，月亮和行星的各种运动参数，它取代了这一课题的所有早期的著作。换句话说，如果我们穿越到古希腊时期，要想研究天文学，一本《大成》就够了！

在三角函数上，托勒密继承了喜帕恰斯的思路，创造出比喜帕恰斯的更完整的“弦表”。列出了从(1/2)°到180°，且以半度为间隔的弦表，并且找出了一种能在已算好的两个值之间的插值方法。

拥有更科学，更详尽的“弦表”，就可以在一定已知的条件下来解任意三角形。同时，托勒密创新的应用“托勒密定理”，应用该定理在解圆的内接四边形的时候，能够推出正弦和余弦的和差角公式。

三角学的发展越来越丰富，三角形中的奥秘被挖掘的越来越深入，纵观世界，由于信息不发达，全世界各地的对三角学都有所贡献，比如印度地区的《阿耶波多历数书》、《太阳的知识》；阿拉伯地区的巴塔尼与《星的科学》、比鲁尼和《测影通论》、艾布·瓦法与《天文学大全》等等。

文艺复兴以后，人类摆脱了中世纪束缚思想的精神枷锁，一个新时代的到来，各方面科学文化都取得突破性进展，三角学也不例外，发展成相当成熟的独立科目。但是三角函数公式却是杂乱无章的，这时候我们期待下一个天才的出现，16世纪中叶，他出生了，他的名字在中学数学课堂上翻来覆去被提到，是学霸心中的“神器”，是学渣心中的“魔鬼”，他就是韦达！

韦达--三角公式集大成者

弗朗索瓦·韦达（1540-1603年），法国数学家，被誉为“代数学之父”。在我国，无论您的数学考多少分，您都必须要知道“韦达定理”，这简直是二次方程的神器。韦达就是这样在我国被家喻户晓的，韦达简直要成了“方程”的代言人。

相传，在比利时有位数学家叫罗芒乌斯，他在《数学思想》一书中有一个变态的方程求根问题，用现代的符号写出来就是：

比利时的大使曾向法国国王亨利四世“嘚瑟”，这么难的问题你们国家有能能解么？

于是亨利四世召来了韦达，让他解决这个问题，灭对方之威风！韦达看出该方程的解依赖sin45θ和sinθ之间的关系，心想：“在方程的背景音乐下，我还没输过”，凭着优秀的数学直觉，2分钟后解出了2个根，之后又解出了21个根。导致比利时大使装X失败！

韦达在代数上最伟大的成就应该是引进了系统的“符号”，也可以被称为“符号大师”，今天我们不谈韦达其他方面的贡献，只谈三角学。

韦达第一个在平面三角和球面三角中使用了 6 个三角函数，即我们今天的sin，cos，tan，cot，sec，csc。除了总前人的成果外，还补充了自己发现的新公式。

他将这些公式总结在一个总表中，记录在《应用于三角形的数学定理》的第二部分。对于斜三角形，韦达效仿古人，将其化为直角三角形解决。对于球面三角形，韦达给出计算公式及记忆法则，比如著名的余弦定理：a²=b² c²-2bccosA。之后韦达又得到多倍角公式。韦达坚信：“没有解决不了的问题”，这句话永远激励着人们奋发向上，去探索数学未知的高峰。

至此，三角学从天文学中彻底分离出来，成为数学的一个分支，并独立发展。

欧拉--三角学分析化

每每提到数学的大事件，永远都有欧拉的身影。这一次，不仅欧拉，近代数学的大牛们纷纷登场。17世纪，一个响亮的数学名词登上历史舞台，并在之后的二百年里，它在几乎所有的数学问题中均占中心位置，无出其右，它就是“函数”。

各种三角函数是起源于圆周运动，相互之间密切配合的周期函数，它们是解析几何学和周期函数的分析学中最为基本和重要的函数；牛顿和莱布尼茨给出了三角函数的级数展开式。约翰·伯努利在和差公式的基础上推导了解析三角的一般恒等式。

欧拉在《无穷小分析引论》中把三角学作为一门关于三角函数的科学进行了研究，对三角学作解析的叙述，从不多的几个基本公式推导出全部三角公式。他引入了弧度制，从而使角和实数一一对应，计算大为简化。如果令圆的半径等于1，那么半圆周的长就是π，所对圆心角的正弦值是0，即sinπ=0 ；1/4圆的周长是π/2，所对圆心角的正弦值等于1，即sinπ/2=1。

欧拉的《无穷小分析引论》是一部划时代的著作，即使只针对三角学来说也是封神之作。它使三角学从静态的只是研究三角形解法的狭隘天地中解放出来，三角学可以去描述现实世界中一切能用三角函数反映的运动或变化，从而使三角学成为一门具有现代特征的分析学的分支。

（图片来源网络，侵删）

---

[1] 肖柏荣，周焕山.数学史与数学方法论[M].成都：成都科技大学出版社，1996.

[2] 胡作玄.近代数学史[M].济南：山东教育出版社，2006

[3]Eli Maor.Trigonometric Delights . Princeton University Press .1998.6

[4]吴文俊主编.世界著名科学家传记（数学家Ⅱ）.科学出版社.1992.193

[5] Victor J.Katz.李文林.邹建成.胥鸣伟等译.数学史通论（第 2 版）.高等教育出版社.2004.

,