关于球的微积分题目(如何不用微积分算个球)

前段时间有人问,球的体积计算公式是什么?

由于长期依赖各类搜索,再加上对睡觉刷剧电子竞技等一系列新兴趣的开发,这些似曾相识的公式早被我抛诸脑后。之后再拿起笔尝试推导我才愕然发现,基础的微积分计算法则好像也有些生疏了。

于是我开始了相关探索,半天下来,不仅成功算了个球的表面积,还算了个球的体积,而这个过程,和微积分法则毫无关系。那么怎样不用微积分就能算个球呢?

关于球的微积分题目(如何不用微积分算个球)(1)

Credit: 3blue1brown

首先,抛弃了微积分这一曲线计算利器,我们的替代工具是:一点点相似三角形知识一点点空间想象力,再加上中国古代数学家智慧的结晶——祖暅原理

算个球的表面积!

众所周知,球的表面积公式是 4πr2,正好是同半径圆形面积的4倍,这不禁让人浮想联翩,为什么正好是 4 倍呢?难道圆形面积和球体面积之间有什么不可告人的秘密?顺着这个思路下去你可能会觉得完全无从下手,感到弱小,可怜,又无助。

这也正是我初期经历的心路历程,直到我发现了另一个秘密:4πr2正好是这个球外接圆柱的外围面积。

关于球的微积分题目(如何不用微积分算个球)(2)

Credit: 3blue1brown

想象一下,如果把球表面划分小块,沿水平向四周投影,按理来说,这样投出的小块就可以正好铺满外面这个”圆筒”。因为圆筒的面积是圆周长乘上筒高:2πr*2r = 4πr2,和里面这颗球的表面积不谋而合!

就像下图右上角示意的那样,球上的小块被投影到圆筒上会变形,它们的宽度可能增大,而高度会相应变小。

关于球的微积分题目(如何不用微积分算个球)(3)

Credit: 3blue1brown

小块可以从平视和俯视两个方向来观察。那我们就来看看,投影过程中,我们的小块到底经历了什么不为人知的变化。

先看俯视图:

关于球的微积分题目(如何不用微积分算个球)(4)

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从中心轴往外投影,聪明的你一定已经发现,投影的距离越远,小块就会变得越宽。

所以纬度越高的地方,也就是越靠近上下顶点的小块,投到圆筒上之后,宽度增加得越多;位于赤道上的小块与圆筒相接,宽度也就不发生变化。

关于球的微积分题目(如何不用微积分算个球)(5)

EF 被拉长成了 CD

如果你知道相似三角形的比例关系,由于 △AEF和△ADC 相似,所以,这个增大的倍数是 r/d,也就是

CD/EF = r/d

对于球上不同的纬度,d 会改变,而球的半径 r 不变。越靠近两极,d 越小,r/d 就越大,小块的宽度增加也就越多,这和我们观察到的现象一致。

类似地,可以看看平视方向的情况:

关于球的微积分题目(如何不用微积分算个球)(6)

Credit: 3blue1brown

显然,这个方向上的投影会让小块的高度萎缩,也就是黄色的线段长度会缩短。

因为球的体态圆胖,越靠近两极,小块越是趋近“平躺”,投影之后高度萎缩的也越多;而在赤道上,小块直立,投影不改变小块的高度。

关于球的微积分题目(如何不用微积分算个球)(7)

JH 投影后萎缩成了 EF

显然 ∠α=∠β=∠γ,于是 △HAD,△HIJ 两个三角形是相似三角形,根据比例关系,我们知道:

EF/JH = d/r

也就是说,平视方向投影会让小块高度萎缩,缩小比例是 d/r

于是神奇的现象发生了,球上的每一个小块经过投影之后形状的确会发生变化,宽度拉长了 r/d 倍,同时高度萎缩了 d/r 倍,而这两个倍数相乘正好等于 1

如此一来,小块投影前后的面积其实没有变化!仅仅利用几个三角形,我们就开心的证明了:计算球的面积可以用外接圆筒的面积来替代。

关于球的微积分题目(如何不用微积分算个球)(8)

投影变化前后,小块的面积不变

那么,算个球的表面积 S= S= 2πr*2r = 4πr2

祖暅原理

祖暅原理又叫 Cavalieri’s Principle(卡瓦列里原理),因为卡瓦列里在17世纪提出了类似的等积原理,用于复杂几何领域,但实际上祖暅的发现比他早了1100年。

“幂势既同,则积不容异”这句话就出自于祖暅。如果你对高中数学课本有印象,也许记得这里的“幂”指体积,“势”则为高度。意思就是:高度相同的物体,如果每个剖面面积也一样,它们的体积就相等。

祖暅原理的提出本是为了解决计算牟合方盖的体积问题,从而算球的体积。但现在更加常见的用法是下面这样:

关于球的微积分题目(如何不用微积分算个球)(9)

图中球的体积等于圆柱去掉两个圆锥的体积,原因就是它们每个剖面的面积都相等。有兴趣的小伙伴可以用半球为例,试着计算。

关于球的微积分题目(如何不用微积分算个球)(10)

利用上图很容易发现,在高度是 h 的地方,球的截面积是:π*(r2-h2),而圆柱减去圆锥的截面积是:πr2(圆柱截面)-πh2(圆锥截面),它们正好相等。

于是,算个球问题一下变成了算圆柱和圆锥的体积问题。

算个球的体积!

了解了祖暅原理,我们就可以绕过微积分,直接算球了!

由祖暅原理,半球的体积经过我们巧妙的转化,成了用圆柱圆锥的体积来表示。

众所周知,圆柱体积是圆面积和高度相乘,V圆柱= πr2*r = πr3。而圆锥的体积,假如你不知道,查阅资料会发现 V圆锥= πr3/3,正好是圆柱的三分之一。

好奇关于球的微积分题目(如何不用微积分算个球)(11)宝宝也许会问,三分之一是怎么来的?既然你诚心诚意的问了,祖暅会大发慈悲的为你解答。

我们还是逮住之前的那个圆锥(截面面积是πh2),然后把烦人的 π 除去,截面积就成了 h2。那么谁的截面积是用 h2 表示呢?答:边长和高度都是 r 的四棱锥。

关于球的微积分题目(如何不用微积分算个球)(12)

a. 除去 π 后,圆锥变成了四棱锥(平视图)

关于球的微积分题目(如何不用微积分算个球)(13)

b. 四棱锥每一个横截面都是边长为 h 的正方形(斜视图)

这下好了,仅仅是做了个除法,问题似乎已经简单多了!

但你可能还是会问,四棱锥的体积又要怎么计算呢?别着急,我们先好好观察一下这个四棱锥。它的顶点在中心上方,感觉还是不够友好,怎么能再变换一下形状呢,没错,是时候祭出祖暅原理了。

关于球的微积分题目(如何不用微积分算个球)(14)

把顶点移到一个角上,新的四棱锥有三条互相垂直的边,并且体积不变

到了这里,问题基本上已经解决了。什么,你还没看出来?调动你的空间想象力,调整一下角度,把这样的四棱锥放在正方体里似乎正合适,你能看出可以同时放进几个吗?

关于球的微积分题目(如何不用微积分算个球)(15)

为了让你们相信是 3 个而精心制作的 gif 动图

3 个!万事大吉~

正方体的体积显然是 r3,这样一来,四棱锥体积就是 r3/3。接着,对应圆锥的体积只需要乘上 π,V圆锥= r3/3*π。最后半球的体积 V半球= V圆柱 - V圆锥= πr3-πr3/3 = 2/3 (πr3),所以 V= 4/3 (πr3),是不是和书上写的公式一模一样呢!

成功算球!完结撒花~

作为一期数学类的硬核推送,小编想说的是,很多时候只要切换一下思路,尝试别的工具,就可能开辟出新的道路。

所谓的数学之光,我想也就是在这里。

参考资料

Ⅰ. https://youtu.be/4_BEpekImQg

Ⅱ. https://b23.tv/av33120854

来源:牛油果进化论

编辑:Quanta Yuan

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