初中数学竞赛试题超难（一道北京市数学竞赛试题的几种解决方法）

原题呈现

（2018·北京市初二数学竞赛试题）三个斜边彼此不等的等腰直角三角形△ADC，△DPE和△BEC，如图1所示，其中AD=CD，DP=EP，BE=CE，∠ADC＝∠DPE=∠BEC＝90°.

求证：P是线段AB的中点.

证法1 如图2

延长DP至点F，使DP=PF，连结BF、EF、AP、BP.

∵DP=PF，EP⊥DF

∴△DEP≌△FEP（SAS）

∴∠PDE=∠PFE=45°，DE=FE

∴∠DEF=90°

∵∠CED＋∠CEF=∠BEF＋∠CEF=90°

∴∠CED=∠BEF

又CE=BE

∴△CDE≌△BFE（SAS）

∴BF=CD=AD，∠CDE=∠BFE

∵∠ADP=∠ADC＋∠CDP＝90°＋（∠CDE－∠CDP）＝∠CDE＋45°

∠BFP＝∠BFE＋∠PFE=∠BFE＋45°

∴∠BFP=∠ADP

∴△APD≌△BPF（SAS）

∴AP=BP，∠APD＝∠BPF

∴∠APE＋∠BPE=90°＋∠APD＋90°－∠BPF＝180°

∴A、P、B三点在同一条直线上

即P为线段AB的中点.

证法2，如图3

连结AP，将△APD绕点P逆时针旋转90°，得到△EPQ，连结QA、QB、QP、QD、QE.

设∠DPQ＝α，DQA=β

∵∠DPQ＋∠QPE=90°，∠APD=∠QPE

∴∠APQ=∠DPE＝90°

又AP=QP

∴△APQ是等腰直角三角形

∴∠PAD=∠PQE=45°－α

又∠PQD=45°－β

∴∠EQD=∠PQE＋∠PQD=90°－α－β

又∠ADQ=180°－α－β

∴∠CDQ=360°－90°－（180°－α－β）=90°＋α＋β

∴∠EQD＋∠CDQ＝180°

∴CD∥EQ

又CD=AD=EQ

∴四边形CDQE是平行四边形

∴CE=QD=BE，∠CDQ＝∠CEQ

∵∠ADC=∠CEB=90°

∴∠ADQ=∠BEQ

又由旋转可知AD=EQ

∴△ADQ≌△QEB（SAS）

∴QA＝QB，∠DAQ=∠BQE=α

∴∠PQB=∠PQE＋∠BQE=∠PAD＋∠QAD＝45°＝∠PQA

又QP=QP

∴△APQ≌△BPQ（SAS）

∴∠APQ=∠BPQ=90°，AP=BP

∴A、P、B三点在同一条直线上

即P为线段AB的中点.

证法3利用同一法来进行证明。

,