高阶多项式因式分解法（配方法与十字相乘法）

有人说，因式分解中的十字相乘法就是配方法。这种说法虽有一定的道理，但过于片面。

用十字相乘法分解二次三项式ax^² bx c，其思路是将二次项ax^²分解为两个一次单项式a₁x和a₂x的因式，将常数项c分解为两个常数c₁和c₂的因式，写成如图的样子，验证交叉乘积之和a₁x·c₂ a₂x·c₁是否等于一次项bx?如果不相等，调整a₁ ，a₂ ，c₁ ，c₂的值，直至相等后，把原式写成(a₁x c₁)(a₂x c₂)。

这种思路方法可用口诀简单记为：

首末分二因，叉积和题心。

运用十字相乘法因式分解有时需要多次尝试才能获得成功。

比如分解因式：4x²-4x-15，

如果用十字相乘法，运气欠佳时有时需要尝试三五次才能获得成功。而如果用配方很快就可以完成吗？

什么是配方法呢？

配方法因式分解的思路是将二次项ax^² bx c配成平方差的形式，然后运用平方差公式分解。比如上述的例子4x²-4x-15，易知

原式=(4x²-4x 1)-16

=(2x-1)^²-4^²

=(2x-1 2)(2x-1-2)

=(2x 1)(2x-3)。

运用配方法分解二次三项式ax^² bx c的关键是配方，配方时一般可按如下口诀步骤进行：

二次系数先提取，首项系数化为1。

提取二次项的系数a，把二次三项式化为a(x^² b/a·x c/a)；

一次系数取一半，平方以后再加减。

在a(x^² b/a·x c/a)括号内加减b/a的一半b/(2a)的平方[b/(2a)]^²，把二次三项式化为a{x^² b/a·x [b/(2a)]^²-[b/(2a)]^² c/a}；

前三配方后面算，方差形式自然现。

括号内的前三项x^² b/a·x [b/(2a)]^²配成平方[x b/(2a)]^²，后面的两项-[b/(2a)]^² c/a进行计算，最后便可以出现a[(x m)^²-n^²]的形式；

至此便可以运用平方差公式分解了。分解后，再调整一下a，把它分配到两个因式中去，使各因式中分数常数项化为整数。

例如，用配方法分解因式：2 x^²-5x 2.

原式=2(x^²-5/2·x 1)

=2[x^²-5/2·x (5/4)^²-25/16 1]

=2[(x-5/4)^²-9/16]

=2[(x-5/4)^²-(3/4)^²]

=2(x-5/4 3/4)(x-5/4-3/4)

=2(x-1/2)(x-2)

=(2x-1)(x-2)。

可见，用配方法进行因式分解是件比较麻烦的事，就本题而言，不如十字相乘法，但也有简便的时候。

比如，分解因式：x^²-18x-40.

原式= x^²-18x 9^²-81-40

=(x-9)^²-121

=(x-9 11)(x-9-11)

=(x 2)(x-20)。

运用配方法因式分解二次三项式虽然不需要尝试，但过程复杂，步骤繁琐，远不及十字相乘法来得干脆利落。

练习：把下列多项式因式分解：

（1）x^²-8x 12.

（2）3x^² 7x 4.

（3）x^² 4x-21.

（4）x^²-3x-18.

（5）8x^²-61x-24.