空间平面的向量表示式怎么理解(如何理解用数学表示的平面空间)

平面方程的点法式方程是什么?

让我们直入主题:我们常常用π来表示一个平面:你看不懂这个公式没有关系,接下来我将把它讲明白。

空间平面的向量表示式怎么理解(如何理解用数学表示的平面空间)(1)

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假设现在我们有一个特定点,这个点是已知的:

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现在我们发现一个垂直于这个平面向量,我们把它称作法向量

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空间平面的向量表示式怎么理解(如何理解用数学表示的平面空间)(5)

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是未知变量。

大家知道,一个空间中的点的坐标减去另一个空间中的点的坐标,它的意义是一个向量,我们把它记作K。

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于是,一个平面就等于法向量点乘这个未知向量:

空间平面的向量表示式怎么理解(如何理解用数学表示的平面空间)(8)

空间平面的向量表示式怎么理解(如何理解用数学表示的平面空间)(9)

大家知道,垂直向量的点乘为0,所以有:

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于是,我们可以推演出平面的一般方程

空间平面的向量表示式怎么理解(如何理解用数学表示的平面空间)(11)

D为常数

这个方程有什么用呢?我们现在做一个数学实验

设有三个空间中的点A(1,0,-1),B(2,1,2),C(-1,1,3),我们现在要设法确定它的空间平面方程。我们知道,三点确定一个平面。两条相交的直线也能确定一个平面。

于是我们准备搞出两条相交的直线来:

空间平面的向量表示式怎么理解(如何理解用数学表示的平面空间)(12)

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我们知道n向量垂直于上面这俩,所以可以直接用叉乘(右手定则)

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至于这个矩阵怎么运算的,大家可以参考我之前的文章,这里就不带大家算了。

于是,我们根据之前的定义,随便取一个点A(取B,C都可以),可以推出:

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这个平面长什么样子呢,好像不直观啊!我们对它变个形状

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我们用MATLAB画出它的图,光靠三个点就能确定一个这样的平面,是不是很神奇呢?

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感谢大家抽空阅读~

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