大一高数第一章函数与极限知识点(数学笔记-同济第七版高数)
对于一个函数f(x)all ε>0, exist δ>0, 当0<|x-a|<δ, 有|f(x)-A|<ε,今天小编就来聊一聊关于大一高数第一章函数与极限知识点?接下来我们就一起去研究一下吧!
大一高数第一章函数与极限知识点
1、自变量趋向有限值时函数极限定义对于一个函数f(x)
all ε>0, exist δ>0, 当0<|x-a|<δ, 有|f(x)-A|<ε
就称lim(x->a)f(x)=A
也就是说,对于任意小的一个数ε,都会存在一个范围,这个范围就是a的δ去心邻域,也就是0<|x-a|<δ,这个范围里面多有函数值和A之间的“误差”都小于A,就称A是x趋向于a的极限
2、性质(1)唯一性
(反证法)可以参考前面数列极限的证明方法
(2)局部有界:lim(x->a)f(x)=A, 则exist δ>0 M>0, 当0<|x-a|<δ 时,|f(x)|<=M
这个相比较数列极限全部有界来说证明方法较简单
由函数极限定义可知在0<|x-a|<δ这个范围内f(x)与极限A的“误差”不超过ε,所以当M=max{|A ε|,|A-ε|}时,|f(x)|<M (0<|x-a|<δ)
(3)保号性:如果lim(x->a)f(x)=A, 且A>0, 那么存在常数δ>0, 使得当0<|x-a|<δ时,有f(x)>0,反之也成立。
证(A>0时):
∵lim(x->a)f(x)=A
取ε=A/2>0 (ε可以任意取,越小越好)
exist δ>0
当0<|x-a|<δ时,|f(x)-A|<ε
即|f(x)-A|<A/2
4、自变量趋向于无穷大函数极限(1|正无穷)If all ε>0, exist X>0, 当x>X时, |f(x)-A|<ε, lim(x-> ∞)f(x)=A
(2|负无穷)If all ε>0, exist X>0, 当x<-X时, |f(x)-A|<ε, lim(x->-∞)f(x)=A
(3|无穷)If all ε>0, exist X>0, 当|x|>X时, |f(x)-A|<ε, lim(x->∞)f(x)=A
5、例题例1:lim(x->2)(3x 1)=7
all ε>0 |(3x 1)-7|=3|x-2|<ε <=> |x-2|<ε/3
exist δ=ε/3
当 0<|x-2|<δ时, |(3x 1)-7|<ε
∴lim(x->2)(3x 1)=7
例2:lim(x->1)(2x^2-x-1)/(x-1)=3
all ε>0 |(2x^2-x-1)/(x 1)-3|=2|x-1|<ε <=> |x-1|<ε/2
exist δ=ε/2
当 0<|x-1|<δ时, |(2x^2-x-1)/(x 1)-3|<ε
∴lim(x->1)(2x^2-x-1)/(x-1)=3
例3:lim(x->∞)(2x^2)/(x^2)=2
all ε>0 |(2x^2)/(x^2)-2|=1/(x^2)<ε <=> |x|>1/(√ε)
exist X=1/(√ε) (ps:前面对于趋向无穷时定义就是用X表示的)
当|x|>X时 |(2x^2)/(x^2)-2|<ε(无穷情况是|x|>X,正无穷情况是x>X,负无穷情况是x<-X)
∴lim(x->∞)(2x^2)/(x^2)=2
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