数学中的思维方法（数学思维方法概述）

一．数学思维方法的产生与发展

（一）数学方法论的产生与发展

数学作为一门历史悠久的基础学科，给人类文明带来了重大影响。人们一直都想获得一种方法，使数学的学习和运用变得简捷，方便和通俗。当前对数学的方法研究如果按照现代科学哲学的传统，可以分为“证明的方法”和“发现（发明与创造）的方法”。显然，数学自身的证明方法是与严密的，形式化的逻辑演绎方法联系在一起的，或者说数学证明的方法与公理化的方法紧密地联系在一起。

在数学的历史发展中，人们从来也没有忘记寻找数学发现（发明）的方法。数学家们也希望找到数学发现（发明）的“万能方法”，使之可以解决一切数学问题。例如，笛卡尔就提出过一种“万能方法”，即把任何问题转化为数学问题。尽管笛卡尔充满信心，但是数学的发展很快就否定了这种万能的方法。近代的逻辑实证主义的“科学观”则认为科学的方法论研究仅限于证明的范围，发现的问题属于心里学的范围，因此发现的问题不会在科学方法论的范围内得到理性或逻辑的结果。这种观点，实际上否认了作为科学方法论意义上的“发现的方法”。

然而，数学的发展，数学的学习以及数学家解决问题的方式，又使人们感觉到那种公理化证明形式之外的发现方法的某些存在。正是在这种历史背景下，国际上开始了一种寻找数学“发现和发明的方法与规律”的研究。在这方面做出了重要贡献的是美籍匈牙利数学家波利亚，他的重要贡献就是对“数学启发法”的研究。波利亚是围绕“怎样解题”展开自己的启发法研究的。作为一名曾在分析数学，组合数学邻域作出重要贡献的数学家，波利亚数十年对数学启发法和数学教学的研究，为数学方法论的研究奠定了坚实的基础。

严格来说，国际上在20世纪80年代以前，所谓的数学方法论实际上就是波利亚的“启发法”------问题解决的数学方法。当然这不是数学家研究活动必须遵循的准则，但它对数学教育却有着极大的影响。数学方法论的概念和内容是中国数学家徐利治教授最先明确的以专著形式表述出来的。徐利治教授的《数学方法论选讲》迅速在中国数学教育界传播并产生强烈反响，以教材教法研究为中心的高等师范院校的数学教育课程，很快就把数学方法论作为主要内容之一。此后，数学方法论引起数学教育界的重视，许多学者开始深入的进行了研究，并有一系列的著作问世。

数学方法论的概念，内容正在不同层面发展，在数学教育的研究中，它目前已经被广泛的运用。

（二）数学思维方法的产生与发展

波利亚的“问题解决”启发法在西方数学教育界十分盛行。在中国的数学教育界，人们认识到数学方法论的教学，如果只注重方法的学习很可能会变成一种新的技能方法的形式化教育。为此，一些学者认为，数学方法的学习应强调数学思维的重要性，应强调数学教育中积极的思维远远超过记忆和掌握一种具体方法。由此，数学思维方法作为一种继数学方法论之后的数学教育形式就逐渐形成了一种教学体系。

在西方的数学教育研究种，从20世纪80年代之后，心理学在数学教育中的应用，使西方数学教育开始重视数学思维的研究与教学。

现代的数学教育观认为，对于所谓的问题解决者而言，问题解决的过程不可能也不应当是一个程式化的逻辑过程，而应当是从满创造性的过程。因此，应把启发法所运用的“问题解决”与“数学思维（主要指创造性思维）”相结合。

现代的数学教育观，尤其是西方的数学教育观认为，数学学习的目的，已经开始从掌握“数学知识和技能”向着“解决问题的一般方法”即“数学式地思维”的方向转变。与其它学科中的思维相比，数学思维具有特殊性，它在数学教育中占有重要的地位。数学思维的教学形式，对数学教师提出了更高的要求。

由于数学教育观念关注数学思维，也由于数学方法论研究提供了数学思维的教学内容，使人们开始了数学思维教育的研究。近年来，数学教育界已开始形成相关的数学思维的教育内容。

数学思维方法研究的内容和发展，紧紧地与以下三个方面相联系。

第一，数学思维方法研究紧紧跟随和运用数学方法论地内容。数学方法论提供地类似“问题解决”的数学方法，为数学思维方法研究的展开提供了素材和发展空间。同时，数学思维方法研究也促进了数学方法论的进一步发展。

第二，数学思维方法的教学，不仅强调数学方法具有的方法论意义，而且强调说明在这些数学方法中，数学思维活动的积极意义。现代的研究表明，在数学课堂里学到的一般解决问题的技能和能力，尤其是思维的能力，会在某些情况下迁移和运用到解决其他问题的场合。从这种意义上来说，数学思维的教学远远重于程式化方法的教学。

第三，数学思维方法的教育内容，更应当与非逻辑思维，创造性思维相联系。非逻辑的联想，类比，猜测即是数学的一种思维方式，还是创造性思维的基础。数学思维方法应当与思维的创造性相联系，而不是把数学思维方法作为一种新的程式化教学来要求。

数学思维方法与非逻辑思维，创造性思维的联系，对数学教师的教学研究提出了新的要求。

二．数学思维方法的层次性

数学思维方法是对数学思维形式，方法的思考与研究，按照数学思维的应用，可以把数学思维分为哲学，一般方法论，数学某分支和初等数学四个层次给予讨论。

（一）哲学意义上思辨的数学思维方法

对数学的认识，理解与思考的不同，形成数学的思维方式就不同。这些不同的思维方法就构成了具有哲学意义的数学思维方法即基本的或重大的数学思维方法。

例如，古希腊的数学家认为几何图形是构造世界的基本形式，于是就演绎形成了以欧几里得《几何原本》为代表的数学思维方法。解析几何的创始人笛卡尔提出的用代数方法解决几何问题的思想，不仅创造了解析几何的思维方法，更为重要的是它形成了一种全新的思维方式。还有如无穷小量的思想最终形成的微积分方法，希尔伯特按形式化的要求形成的有关几何基础研究的思维方法，概率统计的思维方法，抽象集合论的思维方法等等，都是涉及对整个数学认识和理解层面的数学思维方法。这些思维方法所形成的数学思维形式，具有哲学意义，构成了数学思维最高层面的方法论形式。

（二）一般科学方法或称之为属于一般科学方法论形式的数学思维方法

这样的数学思维方法是指与一般科学方法相同的一些数学思维方法。严格来说，发源于古希腊的西方现代科学，许多科学思维方法吸收和运用了数学的思维方法。但是在现代科学方法论中，许多学科的思维方法已经超越或脱离了数学的邻域。如类比，联想，猜想，试错，分析综合，归纳演绎等都广泛的应用于不同的科学邻域。尤其是非逻辑思维，创造性思维往往在其他科学领域中取得巨大的成就。这些科学方法论中共同的思维方法，有些也在数学中广泛的应用，但在数学邻域中运用的这些思维方法却很少构成对数学本质的认识和理解，因此它应当属于第二层面的数学思维方法。

（三）具有独特数学特征的思维方法

所谓具有独特数学特征的思维方法，是指仅仅在数学某个分支中应用的思维方法，或具有独特的数学表现形式，或为某些数学家群体，数学家个人独具的思维方法。如群论中运用的独特思维方法，函数论中应用的独特思维方法，拓扑学中运用的独特思维方法等都属于这一层面的思维方法。当然，这类的思维方法应用范围不如前两个层面的思维方法范围广，因此属于第三个层面。

（四）初等数学中的思维方法

这一层面的数学思维方法涉及的内容都是数学的基础内容，相对比较规范，规律比较明确。作为数学的基础教学研究，多年来取得了一系列的研究成果。在初等数学的教学中，各种解题思维方法的内容相当丰富，类型于变化都相当广泛。作为数学思维方法，初等数学往往与高等数学的各个分支密切相联。中小学数学中的思维方法，相对于前面的三个层面还是属于相对比较简明，范围明确的基本的数学思维方式。

应当看到，数学思维方法研究还是一个并不十分成熟的学科，还有许多内容有待发展，尤其是在基础数学的教学中，如何运用思维方法来组织中小学的数学教学活动，还是一个很值得深入讨论和研究的内容。