导数概念与例题（导数的结果应该是严格的特定的0）

导数的结果应该是严格的特定的0/0——如欧拉所言（3）（续2017-7-3文章）

3 从图象看dy／dx=(0／0)…的真谛

现在我们根据求导运算的图像中讨论求导运算。这样更直观、更明确。

3.1 几何含义——在点处才是准确值

为了更进一步理解最终dy ／dx =(0／0)=…

，的含义，让我们结合y=ax^2（“^”表示乘方）的图象，看一看导数的几何意义。

图1 抛物线y=ax2的图象

如图１所示，显然，Δy=RK，Δx=PK。PQ为过点P的曲线y=ax^2的切线。这条切线的存在是显然的，不应该回避。

P点乃是原函数上的普通一点，但也因此而具有代表性。于是如果这一点不予考虑，即它的导数不予考虑，则其它点的导数亦无从考虑。那导数存在于何处呢？

（3.1.5）

成立的条件仍然仅仅是而且必须是最终Δx=0。而aΔx则是当Δx≠0才存在，它表示在Δx≠0的时候割线的斜率与导数的准确值的误差。

于是从导数的几何含义和数值运算这两个角度考察后，结论都是应该承认2ax才是原函数里隐含着的新关系中的有意义的项。

牛顿也曾经从几何直观的角度认为，只有在割线变成切线时，才求出了导数的准确值。他还说，“在数学中即使是最微小的误差也不应忽略。”[17]可见数学直观有时是很有用的。（可惜他没有坚持到底。当然不应该苛求。）

还可以看出，△y/△x是具有数学含义的，它表示在〔x,x Δx〕的区间内，函数值的平均变化率。这是一个新的质，但是它目前还不是准确值，而是近似值，是预备状态的值（请读者注意，现在我们已经不是从“外边”研究函数了，我们的研究已经逐渐进入到函数的“内部”了。我们要研究的是函数的变化率。恩格斯曾经指出，求导运算是“在函数内部”研究变化。[18]这是很正确、很深刻的。）

显然在这整个区间内都有Δy随Δx的改变而改变的依赖关系，于是△y/△x的极限即新的质dy/dx在每一点处都存在，并且有相应的值，就是毫无疑义的。更一般的说，这个新关系——原函数中隐含着的新关系——在整个可导函数的整个曲线上都存在。

3.2 Δx和Δy趋向的是各自的0，不是相同的0

从图１中还可以看出，Δy=RK，Δx=PK，而我们求导运算的出发点是：

△y/△x =RK／PK=2ax aΔx （3.2.1）

但是不难理解过P、R两点的可导函数的曲线有无数条，显然对这些函数而言，它们的

△y/△x都是相同的：

△y/△x =RK／PK （3.2.2）

但是它们的右边则显然随原函数的不同而不同，即是特定的近似。（我们又一次发现，在Δx≠0时，△y/△x确是近似值。）

于是只有在R沿着图中的抛物线逐渐逼近并且在最终到达P点的时候，割线PR才终于成为该抛物线的切线PQ。此时Δx=0是显然的。

而且也容易看出，此时的Δy也等于0。

但是此时的Δy却不一定等于此时的Δx。从图象中可以看出，此时的△y/△x乃是抛物线在P点的切线PQ与X轴的夹角的斜率。这个数值在一般情况下是不等于1的，只有在很特殊的情况下才等于1。

现在我们可以下结论了：在求导运算的最后结果中，认为Δx=0的意见才是正确的。

3.3 数学界应该接受最终的△y/△x =0/0的结果

那为什么数学家竟然讨论了三百多年，却至今仍然没有接受这个结论呢？困难在哪里呢？困难在于：若

Δx=0， （3.3.1）

即

x1=x， （3.3.2）

则

y1=f(x1)=f(x)=y， （3.3.3）

于是这时

Δy=0。

即在当极限limΔx=0时，（1.6）式应该是：

(3.3.4)

（3.3.4）式当然也是我们所强调的导数的最终结果。可是令人吃惊的是，其中分母竟然变成了零，分子也是零，可是(0／0)竟又等于一个确定的数。这是怎么回事？怎么办？

有办法。

（未完待续）