古代数学割补法求平面图形面积（九章算术之方田）

在《九章算术》的方田一章中，作者详细讲述了常见的平面几何图形面积的求法。包括长方形、梯形、三角形、圆等基本图形，以及以基本图形为基础的复杂结合图形。同时还在计算过程中引入了最大公约数以及分数的四则运算法则。对于古代进行田亩和农事的计算有极为重要的意义。

方田术曰：广从相乘得积步。以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。

“广”和“从”指的即是长方形的长和宽，“积步”指的是面积。意思和如今一样：长方形面积=长×宽。这里还说明了古代的单位换算，即“240积步=1亩”、“100亩=1顷”。

今有田广十五步，从十六步。问田为几何？答曰：一亩。

可列式计算：15步×16步=240积步=1亩

今有田广十二步，从十四步。问田为几何？答曰：一百六十八步。

可列式计算：12步×14步=168步

里田术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。

“里”和“步”均为古代的长度单位，“积里”和“积步”均为面积单位。这里的单位换算为：“1积里=375亩”，则“1积里=375×240积步=90000积步”由此我们可以换算出：“1里=300步”。

今有田广一里，从一里。问为田几何？答曰：三顷七十五亩。

可列式计算：1里×1里=1积里=375亩=3顷75亩

今有田广二里，从三里。问为田几何？答曰：二十二顷五十亩。

可列式计算：2里×3里=6积里=2250亩=22顷50亩

张苍的《九章算术》成书于公元前200年左右，在计算长方形面积方法上和如今完全相同，而且有十分完善的单位换算机制，足以见得古人的智慧。