和差问题奥数解题技巧（全班学生被此奥数题难倒）

例题：（初中数学奥数题）已知x y=12，求 √(x^2 4) √(y^2 9) 的最小值，今天小编就来聊一聊关于和差问题奥数解题技巧?接下来我们就一起去研究一下吧!

和差问题奥数解题技巧

例题：（初中数学奥数题）已知x y=12，求 √(x^2 4) √(y^2 9) 的最小值。

今天，数学世界给大家分析一道初中数学奥数题，几乎全班学生看了此题后，都表示毫无头绪无法动笔。这题确实有一定难度，如果不知道技巧，肯定是很难作出来的。

其实，此题要联系几何知识，解本题的关键是利用两点间距离公式的几何意义，再转化为轴对称最短路径来求最值，即可解决问题。此题体现了数形结合思想的重要作用。下面，我们就一起来分析这道例题吧！

分析：观察此题是一道纯粹的代数题，但是直接用代数方法解答将十分困难，使得很多学生看了此题后，都表示毫无头绪。如果将x y=12变形后得到y=12-x代入√(x^2 4) √(y^2 9)，再类比“两点间的距离公式”进行变形。

于是我们可将要求的问题理解为：求一个点到两点的距离之和的最小值。这样也就是将求值问题转化为求最短路径问题，此时结合轴对称即可求出最小值，于是问题得到解决。

解：由x y=12可得y=12-x，

将y=12-x代入√(x^2 4) √(y^2 9)，

得√(x^2 4) √[(12-x)^2 9]，

作A关于x轴的对称点A'（0，-2），连接A′B，与x轴交于M，

最小值就是A'B的长，

过B作BD垂直y轴于D，则OD=3，

在Rt△A'DB中，A'D=5，BD=12，

所以A'B=13，

即√(x^2 4) √(y^2 9) 的最小值是13。

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