物体在斜面上运动的公式（斜面上物体的运动和摩擦角）

斜面上物体的运动

1.物体沿斜面匀速下滑的条件

如图1，一物体放在倾角为θ的斜面上刚好能匀速下滑，试求斜面的斜面与物体间的动摩擦因数。

受力分析如图2所示，由平衡条件可得:

f-mgsinθ＝0

N-mgcosθ＝0

f＝μN

由上面三式可得:μ＝tanθ

2.物体能沿斜面匀速下滑时与物体的质量无关

如果把一个材料与“1”中所说相同的但质量更大的M放在上面所说的斜面上，物体M还能匀速下滑吗？

如图3对M进行受力分析，在垂直于斜面方向上

N＝mgcosθ

由滑动摩擦定律可知:

f＝μN＝μmgcosθ ＝mgtancosθ＝mgsinθ

它正好等于重力沿斜面向下的摩擦力。这说明物体M恰好能沿斜面匀速运动。

同时，上面的讨论说明了这样一个问题:如果一个物体恰好可以在斜面上匀速下滑，那么增大物体的质量后物体照样可以恰好在斜面上匀速下滑物体能沿斜面下滑是与物体的质量无关的。

3.给原来匀速下滑的物体施加一个竖直向下的力，物体仍能匀速下滑.

如图5

所示，给原来匀速下滑的物体施加一竖直向下和力F，讨论物体的运动情况。如图6对物体进行受力分析，在垂直斜面方向上，由平衡条件可得:

N＝（mg ＋F）cos θ

由滑动摩擦定律可知:

f＝uN＝（mg ＋F）tan cosθ＝（mg ＋F）sin θ

它恰好等于重力和力F沿斜面向下的分力的合力，因此物体恰能沿斜面匀速下滑。

4.增加物体的质量和对物体施加一个竖直向下的力都不改变物体的运动状态

下面的三道习题可以有一个统一的解法:

（1）如图7

所示，已知斜面倾角为θ，给物体一个沿斜面向下的初速度，物体恰好可以沿斜面匀速下滑。试求斜面与物体间的动摩擦因数。

（2）如图4右侧图所示，已知斜面倾角为θ，一物体上压另一物体，给这个整体一个沿斜面向下的初速度，整体恰好可以沿斜面匀速下滑。试求斜面与物体间的动摩擦因数。

（3）如图5所示，已知斜面倾角为θ，给物体施加一个竖下向下的恒力F，物体恰好可以沿斜面匀速下滑。试求物体与斜面间的动摩擦因数。

如图8

建立直角坐标系，由平衡条件可知，在x轴方向上:

fcosθ-Nsinθ＝0

即:f/N=sinθ/cosθ=tanθ

由滑动摩擦定律可知:

μ＝f/N＝tanθ

上面的解法只用到了水平方向的平衡方程和滑动摩擦定律，没有涉及竖直方向的力。虽然N与f在题中都是未知量，对于这三道题来说N与f的大小也不相同，但它们的比值总是相同的。这也是在这三种情况下动摩擦因数与物体质量以及竖直向下施加的力F无关的理由。

5.在非平衡态中增物体的质量和对物体施加竖直向下的力将不再等价

从上面的讨论中可以看到，当物体沿斜面匀速下滑时，给物体增加质量和施加向下的力在效果上是一样的，物体仍能沿斜面向下做匀速直线运动。这很容易产生一个错误的想法，在任何情况下，增加质量与添加竖直向下的力都是等价的。但事实并不是这样，看下面的两个题目。

（4）一物体放在斜面上，将以沿斜面向下的加速度a做匀加速直线运动。现在在这个物体上再轻放一个重物。试判断物体的加速度将怎样变化。

（5）一物体放在斜面上，将以沿斜面向下的加速度a做匀加速直线运动。现在在这个物体上再施加一个竖直向下的力F。试判断物体的加速度将怎样变化。

【解】:（4）如图3对物体进行受力分析，由牛顿第二定律可知:

mgsinθ-f＝ma

N-mgcosθ＝0

由滑动摩擦定律可知:

f＝μN

由上面三式可得:

a＝g（sinθ-μcosθ）

这个结果说明物体向下滑动时的加速度与质量无关。因此增加物体的质量时，物体的加速度不发生变化。

（5）如图6对物体进行受力分析，由牛顿第二定律可得:

（mg ＋F）sinθ-f ＝ma

N-（mg ＋F）cosθ＝0

由滑动摩擦定律可知:

f＝μN

由上面三式可得:

a＝（g＋F/m）（sinθ-μcosθ）

这说明物体的加速度与竖直向下施加的力F有关，而且可以看到，添加力F后物体的加速度将增大。

通过上面两个习题的比较，我们发现，当物体加速下滑时，给物体增加质量和给物体施加竖直向下的力将不再等价。

通过综合方程我们可以更清楚的看到这一点:

（m＋△m）gsinθ-μ（m＋△m）gcosθ＝（m＋△m）a

这个方程式左右两边有公因式m＋△m，因此△m等于0与否（即增加不增加质量）不改变物体的加速度。物体平衡与不平衡都不这个特点。

（mg ＋F）sinθ-μ（mg ＋F）cosθ＝ma

当a＝0时，可以看到添加力F，不改变物体的平衡状态。

当a≠0时，添加力F，等于改变了等式的左边，同时右边的m不变，所以加速度a必然发生变化。

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