点斜式怎么转换直线方程（点斜式直线方程反着来更好用）

在解析几何的综合运用问题中，我们往往遇到这类问题：已知一点坐标(x0,y0)和曲线方程F(x,y)=0，要讨论过该定点直线与曲线的位置情况（相交、相切、相离）、过定点直线截曲线的弦长、曲线上动点与定点组成的几何图形（如三角形）的面积，等等。一般的解答套路是，先用点斜式假设过定点(x0,y0)的直线方程y-y0=k(x-x0)，然后将y-y0=k(x-x0)带入曲线方程得出关于x或者关于y的二次方程，最后用韦达定理、两点间距离公式、点到直线距离公式去求解和讨论各种各样的问题。方法虽笨，但地球是圆的，我们总能通过这种办法从北京慢慢爬到罗马。

不过，值得重视的一点是，点斜式方程的使用有个重要的前提，即直线的斜率k必须存在。对于垂直于x轴的直线，点斜式方程失效。如果这类直线满足题目情景，同学们往往会漏解。对于这个学习bug, 考试出题者当然喜闻乐见，抓住一切机会来考察同学们的分类讨论能力。

古语有云，你有张良计，我有过墙梯。强老师赠予各位一计，堵住bug。很简单，将点斜式方程反过来设，改为m(y-y0)=x-x0。与原方程对比，新方程的乘数m设在含变量y代数式的一边。其意义,m=1/k,即为直线斜率的倒数。当m=0时，x=x0，是一条垂直于x轴的直线。这种反过来的点斜式方程最大的好处在于，它包含了垂直于x轴的直线。解题时，有时候可以免去特殊情况的讨论，而且计算也较为方便。

进一步解释

聪明、细心的同学一定发现，本文介绍的方法也不是尽善尽美的。缺憾在于，对于垂直于y轴的直线，改善后的点斜式方程是无法讨论的。如果遇到一些特殊情况，直线垂直于y轴，使用改善后的点斜式，同样需要分类讨论。哈哈哈，同学们，会不会瞬间崩溃，刚避开了一个雷，竟跳进一个坑。这就是数学的魅力所在，you never know where the 坑 is.

对此，为了避免有可能繁琐的分类讨论或者复杂计算，强老师给个建议：做题前先审视题干，如果垂直于x轴的直线有可能满足题意，那么使用m(y-y0)=x-x0的直线方程有可能获得较好的效果；否则，使用y-y0=k(x-x0)更好。还是那句老得掉牙的话，具体问题具体分析。

日练一技，持之以恒，聚沙成塔，汇滴成川。终有一天，同学们会顿然发现，自己身轻如燕。我是强老师，欢迎大家与多我交流，我将不定时分享高中数学各种的解题方法、技巧以及一些新的数学运用理念，谢谢大家。