秩可用于线性代数的哪些问题（线性代数秩的有关问题）

仅开个头，不做深层次的分析，因为暂时没时间，谁让官方催更呢？当然仔细思考，也定会有所收获的。秩在线代里面起到“定”什么的作用，与各章均有紧密的练习，你知道相应的关系吗，会写出对应的秩语言吗？

在此给出秩的一些问题，请自行查阅资料或者直接检测作答，并梳理其内在逻辑，自学复习文档。

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问题1.请复述：秩的2种定义分别是什么？提示：矩阵行列式，向量

{ ①如何理解其中“最高为r阶”非零子式中的最高为r的含义

→提示：一个说大，一个说小，大小夹。

②区分理解：“有一个”和“每一个”}

以上图片分别为说大和说小

问题2.判断下面三个命题是否正确？（3个重要的命题）

请牢记清楚

问题3.填空题

（1） 矩阵的性质，常见的等式与不等式

填空题1

填空题2

填空题3

填空题4

（2）线性方程组中与秩相关的命题填空

1.Am*n阶，AX=0通解中：基础解析所含线性无关的解向量个数为：[ ]

2.解的判定

秩与方程组

（3）.如何利用秩，判断向量组相关无关，

核心定理：→关键看：向量组的秩与向量组个数的关系，相等无关，不等相关

-矩阵的秩=它行向量组的秩=它列向量组的秩，故判别 ：矩阵的秩 与 所对应的向量组个数的关系

分析：Am*n 本来判别A列向量组的向量是否相关无关，是去看A的列向量组的秩，与A列向量所含向量个数n之间的关系，但是由于“3秩相等”A列向量组的秩=矩阵的秩R(A)相等，故只需要看矩阵A的秩R(A)和列向量组所含向量个数n的关系即可，相等则列向量组线性无关，不等则相关。

秩与相关无关

(4).若A~B 等价，相似，合同，则R(A)=R(B);要会区分：相似，合同，等价的概念

重要命题：

若A可相似对角化，则R(A)=非零特征值的个数，重根按重数算 （请判别正确与否）

判别A可相似对角化的秩语言又是什么？

K重根（设重根为Ω）有K个线性无关的特征向量，秩语言即:n-r（ΩE-A）=K（重数）

→实对称矩阵的秩=非零特征值的个数

进而:R（A）=二次型标准型平方项非零0系数的个数→再进一步思考与规范型关系

→惯性定理:R（A）=p q正负惯性指数之和

（5）.若An*n可逆，则R(A)= [ ],若A不可逆，则R(A)={ }

4.矩阵的秩与各章的关系 （请思考具体的关系）

摘自李林老师的书

5.矩阵的秩的求法结构体系（线代题最爱做的就是分类：具体 ，抽象）

采用分类来思考：具体和抽象，具体是指A的元素给出，抽象是指仅给A符号，不给A的元素

数字型矩阵的秩如何求？有哪些方法？

（1）定义法；（2）初等变换 （用的多）；（3）行列式 ；（4）特征值（特殊结构）

（可相似对角化的特殊结构，例如：主对角元素相同为b，其他元素亦相同为a,可分解为秩为1的特殊结构）

数字型矩阵的求法

• 抽象型矩阵A的秩如何求?

1.经典的构思：一大一小一夹

要证明R(A)=n,可采用：一个说大R(A)≥n,一个说小R(A)≤n,一大一小一夹R(A)=n

{关键如何说大？如何说小？利用好上述：行列式，方程组，相关无关的信息解读以及常见不等式}

你会：从矩阵A的行列式中子式读出秩的信息吗？

存在二阶子式不为0

你会：从相关，无关中读出秩的信息吗？

若α1=α2-α3，则R(α1,α2,α3)≤2，你能读出来吗？理由是？

你会：会从AX=b,A为4阶，有3个线性无关的解，读出秩的信息吗？

摘自李永乐老师的公众号

• 扩展两类题的构思：（考的很少，了解，理解即可）

一个说大一个说小，大小夹

2.利用秩的定义，性质，结论，以及它与其他章节的关系知识来反求秩，理论见上文填空题部分

补充矩阵分解的思想

1.当B的每一列都可以由A的列向量表示的时候，想到 B=AC ，表示系数矩阵C

典型条件设置→什么时候想到用矩阵分解

1. 设a1 a2 a3线性无关，讨论a1-a2 a1 2a2-a3 a1-a3

2.[Aa1 Aa2 Aa3]=A[a1 a2 a3] 从而可用乘法公式 C=AB 而可以利用R(AB)越乘越小的结论：推出秩的不等式，

3.[A AB]=[AE AB]=A[E B] 如上

4.A-AB=A(E-B)

5.已知P=[ 抽象的 ]，且可逆或者列线性无关。告之你一个有关A的等式，让你求P-AP=B的B，要点：①先求AP→观察法，利用矩阵分解的思路→把AP的结果矩阵分解写为：P*,→因为P可逆，进而*=B所求的。2020考题 2001年数一考题等

2.A=BC分解的构思，先看B,C中是否有可逆矩阵或者线性无关的，从而可以得到R(A)与R(B)或R（C）的确切关系；若没有，则利用R(BC) “越乘越小”R(BC)≤min{R(B) R(C )}

分析

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