天天练数学九下二次根式讲解（八下数学培优最新一手资料）

二次根式是初中数学的一个大难点，在数式相关的题型中，含二次根式的题是同学们感到比较头疼的，特别是其综合解答题的正确率也比较低；二次根式涵盖知识点多，解答的技巧性强；不但在代数中占据很重要的位置，而且有时在几何计算中也常能发挥很关键的作用，二次根式很能考查同学们在初中阶段的数学核心素养的；下面分ABCD四个部分，通过鲜活实例，加强对二次根式的学习、巩固与提升，让我们一起来探究.

A、基础知识梳理

1、有关概念：

⑴、二次根式：形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式；

⑵、最简二次根式：满足"被开方数是整数或整式且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式"的二次根式，叫做最简二次根式；

⑶、同类二次根式：被开方数相同，根指数也相同（都为2）的二次根式叫做同类二次根式。

2、重要公式（性质）：

3、规律总结

（3）、二次根式加减运算的一般步骤是：①将各二次根式化为最简二次根式；②找出同类二次根式并将其合并。

（4）、在进行二次根式的混合运算时，应注意：⑴、原先学习的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；⑵、计算时应合理确定运算顺序，并且每一步都要有依据。

B、基本运算突破

二次根式的运算可以说是前面学过的二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用，也是本章内容的落脚点，是前面几节内容的总结，在进行二次根式的运算时，请同学们还要注意以下几点：

1、注意运算顺序问题

二次根式的运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．

2、注意运算法则问题

在运算过程中，每个根式可以看作是一个"单项式"，多个不同类的二次根式可以看作"多项式"，因此实数运算中的运算律（分配律、结合律、交换律），所有的乘法公式（平方差公式、完全平方公式等）在二次根式的运算中仍然适用．

3、注意熟练进行二次根式计算和化简

在理解二次根式基本概念基础上，掌握好二次根式的重要性质多做一些练习，就能达到熟练计算和化简二次根式的目的，除此之外还要掌握一些方法技巧．

C、常用方法技巧

在二次根式运算中，有很多学生感到厌烦。步骤复杂，用了很长时间，结果又不对，原因之一他们没有找到运算中的技巧。下面就其运算方法与技巧举例说明如下。

一、巧移因式，避繁就简

二、巧提公因数，显山露水

三、实施配方，简洁明快

四、整体代入，多快好省

五、造零等式，另辟蹊径

【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是学会用整体代入的思想解决问题，属于中考常考题型．

D、最新考题赏析

近年中考试题中新题型不断涌现，这类问题给出一些新情境，设置一些新问题，要求学生通过阅读理解发挥应变能力和创新能力来解答试题，可以全面考查学生综合素质，这些试题已成为中考试题中的一道靓丽的风景．现举几例与大家共赏。

一、程序运算型

点评：以"数值转换机"的形式考查实数的运算，形式新颖．这类题目不仅考查学生基础知识的掌握情况，而且可以考察学生的综合能力．

二、估算型

点评：新课标要求：能用有理数估算一个无理数的大致范围，估算的方法很多，可以采用平方法，作差法等等．

三、探索规律

所谓探索规律就是要通过由特殊推广到一般，并经过大胆地猜想、归纳和验证，从而获得正确的结果．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．以观察探索归纳猜想为形式的新颖题脱颖而出，此类问题的设置有利于考查学生的创新意识和独立解决问题的能力，有助于引导学生在平时的学习过程中进行自觉的探索

四、新定义运算

定义的新运算，实质是给出了一种变换规则，以此考查学生的思维应变能力和演算能力．解这类题的关键是深刻理解所给的定义或规则，将它们转化成我们熟悉的运算

【分析】（1）根据新定义运算法则即可求出答案．

（2）根据新定义运算法则即可求出答案．

（3）根据定义化简原式后即可求出a²b² ab的值．

点评：本题考查学生的阅读理解能力，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．

题中在一定前提条件下，定义了不同的新运算，计算时，应看清条件，分别计算．

五、阅读理解：

例5、阅读材料：

值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA PB的最小值．

设点A关于x轴的对称点为A′，则PA＝PA′，因此，求PA PB的最小值，只需求PA′ PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′ PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C＝3，CB＝3，所以A′B＝3√2，即原式的最小值为3√2．

根据以上阅读材料，解答下列问题：

∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，6）、点B（6，2）的距离之和，

如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA＝PA′，

∴PA PB的最小值，只需求PA′ PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，

∴PA′ PB的最小值为线段A′B的长度，

∵A（0，6），B（6，2），∴A′（0，﹣6），A′C＝6，BC＝8，

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