三角数学解题方法（比较新奇有趣的三角问题解题方法）

对待三角问题，常规思路是运用三角知识及公式解析。但也有其他解题方法。

一. 平几法

发挥平面图形的功能，以平面图形为载体，挖掘三角背景下的问题实质，使三角问题在平面图形的直观导引下得到解决。

例1. 已知△ABC的三个内角适合sin²A=sinB(sinB sinC)，求证：∠A=2∠B。

证明：如图1，联想平几知识中的切割线定理求解。延长CA到D，使AD=AB=c，

则CD=b c。

由于sin²A=sinB(sinB sinC)，

所以a²=b(b c)，

即BC²=AC·CD，

所以BC切过A、B、D的圆于点B，

所以∠ABC=∠ADB。

因为AB=AD，

所以∠ABD=∠ADB，

所以∠CAB=∠ABD ∠ADB=2∠ABC，得证。

二. 对称法

利用互余三角函数间的特殊关系，以问题结构特征为出发点，通过构造“相似”结构式子，建立对称关系，开避解题坦途。

例2. 求cos²10° cos²50°-sin40°sin80°的值。

解：设x=cos²10° cos²50°-sin40°sin80°，

y=sin²10° sin²50°-cos40°cos80°，

则x y=2-cos40°；

。

联立解得

，即为所求结果。

三. 线圆法

直线与圆是数学中的平常而重要的几何图形。从抽象的数学式子里提炼出线圆关系，使问题及字母讨论在直观的几何显示下不解自知。

例3. 设方程sin2x-sin²x=2cos2x m有实数解，试求m的取值范围。

解：原方程变形为：

3cos2x-2sin2x 2m 1=0。

观察知：点（cos2x，sin2x）在直线3x-2y 2m 1=0上，而点又在单位圆x² y²=1上，所以这个点是直线与圆的交点。原方程有实数解，就是直线与圆有交点，所以根据圆心到直线的距离不大于半径关系得：

。

整理得m² m-3≤0，

解得

。

四. 轨迹法

一图值千言。依题意构点挖掘点的轨迹，发挥“区域”优势，使隐藏的“关节”得以显现，利用解析几何辅助问题获解。

例4. 设a、b＞0，且变量θ满足不等式组

，求sinθ的最大值。

解设x=cosθ，y=sinθ，则不等式组等价于

原不等式呈现出鲜明的几何意义：动点（x，y）的运动区域是单位圆与二直线所围成的阴影区域。由此得sinθ的最大值就是阴影区域中的最高点的纵坐标，即（sinθ）_max=y_M=

五. 曲线法

有些三角问题，抓住结构特征，依托曲线方程，巧妙地建构圆锥曲线模型，使问题在曲线性质的帮助下简捷求解。

例5. 若α、β为锐角，且

，求证α β=

。

解：构造A（cos²α，sin²α），B（sin²β，cos²β）两点，则A、B两点均在椭圆

上。根据圆锥曲线的切线知识知，经过点B的切线方程为x y=1。显然点A的坐标适合切线方程，所以点A也是切点，从而知A、B两点为同一点。

即：cos²α=sin²β，sin²α=cos²β，

所以cosα=sinβ=cos(

)。

由题设条件α、β为锐角，不难得α β=。

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