高中数学比较大小题结论（高中数学数与形思维拓展）

数学之所以比一切其它科学受到尊重，一个理由是因为他的命题是绝对可靠和无可争辩的，而其它的科学经常处于被新发现的事实推翻的危险。….数学之所以有高声誉，另一个理由就是数学使得自然科学实现定理化，给予自然科学某种程度的可靠性。 ——爱因斯坦

（一）题型特点

1．知识：重点考查三角、数列、立几、概率、函数、解几（平面向量、不等式）知识，适当综合。

2．思想：主要考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想、或然与必然思想、有限与无限思想、整体思想、补集思想等。

3．方法：注重考查通性通法，淡化技巧。主要方法有配方法、构造法、待定系数法、换元法、消元法、降次法、特殊化法、图解不、验证法、归纳法、枚举法、主元法、综合法、分析法、反证法等。

4．能力：以逻辑思维能力为核心，突出能力立意，考查空间想像能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。强调探究性、综合性、应用性等。

5．特色：注重命题的综合性、层次性、新颖性、开放性、应用性、创新性。

（三）思想认识

1．数形结合思想：是由数思形，以形想数，使代数问题几何化，几何问题代数化。熟悉各种概念和运算的几何意义（如：初等函数变换图象，原增导上原减导下；知角范围单位圆，三角求值画直角；等差通项一次和二次，等比通项与和指数型；立体模型长方体，转化平面构勾股；分式斜率一次线，二次圆或距离方，焦点抛物看一次，椭圆看大双曲正）。在数形转化时还要注意参数的取值的限制。

2．化归与转化思想：是通过类比联想，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、常规、简单的问题，常见思路有化繁为简、化难为易、化多为少，化杂为纯，化乱为正。转化有时要对结论进行检验修正。

3．分类与整合思想：研究问题不止一种情况或结论会随参数而改变，就将问题恰当地划分成几部分问题，使整个问题就得到了解决。分类要求不重复，不遗漏。分类可按正零负、有无解、左中右等进行划分。

4．函数与方程思想：函数思想是把一个式子或实际问题当作某一变量（主元）的函数，利用函数的性质和图象去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想是将一个函数、等式或实际问题转化为方程或不等式（组），然后通过解方程或不等式(组)使问题获解。函数与方程常常相互转化和利用。

5．特殊与一般思想：命题的结论唯一或其值为定值时，我们只须把题中的参变量用特殊值、特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等替代，得到所要的结论。再类比特殊的方法，进行严格的计算和推理，推出一般的结论。对于一般性结论还可用特殊进行验证。

6．有限与无限思想：把对无限的研究转化为对有限的研究或将有限问题转化为无限问题来解决。常用极限思维来求面积、体积、切线斜率、瞬时等问题，主要考查导数、极端法。

7．或然与必然思想：是从偶然中找出必然，用必然规律去解决偶然现象。主要考查概率、统计等。

8．整体思想：从问题的整体性质出发，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理。整体思想在函数性质、代数式的化简与求值、方程（韦达定理）、几何解证等方面都有应用。

9．补集思想：在解题时，若正面情形较为复杂，可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解。

（二）解题策略

1．从条件入手——对于计算题型，一般从已知条件出发，注重挖掘隐含条件（定义域、规定），得出结论。

2．从结论入手——对于证明题或开放性题，常执果索因，搭好联系条件的桥梁。

3．从定义入手——对于题设有涉及概念的题型，要立刻联想到定义的限制和要求，寻找突破口。

4．从图形入手——对于相对抽象或复杂的问题，应作出图形，直观体会，观察分析，减少计算。

5．从特殊入手——对于一般性问题，可采取化一般为特殊,化抽象为具体，化整体为局部，化参量为常量，化较弱条件为较强条件，退到一个你能够解决的程度上，通过对“特殊”的思考与解决，启发思维，然后达到对“一般”的解决。

6．横向沟通——对于似曾相识的结构，要积极联想和转化，将各数学分支中不同的知识点串联起来。

7．并列递进——对于大题有两个以上的小题，首先分清是并列还是递进。并列题型不能利用前题结论，只能类比和拓展方法进行解题，递进题型一般要利用前题的结论进行推理和计算。

8．整体意识——对于复杂结构的题型，要把握整体结构，适当换元，计算上常设而不求，整体代换求解。

9．正难则反——对于生疏的结论或至多至少问题时，当正面思考受阻，就用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展。顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证。

10．数学建模——对于应用性问题，审题尤为重要。审题需将与数学无关的背景内容抛开，以数学的眼光捕捉信息，将图形、文字、表格等语言转变为数学语言，构建模型。

具体步骤：

①理解题意和背景；

②抓重点词句，提取重点数据；

③合理设元，提炼数量关系，建立数学模型；

④认真求解，注重单位，计算结果要代入实际检验取舍。