直角三角形的斜边中线的判定（巧用直角三角形斜边中线定理解决问题）

直角三角形斜边中线定理是初中几何的重要内容，它的概念是：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

今天我就和大家一起用这个定理解决一道初中几何题。

如图在△ABC中，∠ACB=90°，D为△ABC内一点，连接BD，CD，延长DC到点E，使得DC=CE。连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，若AE² BD²=AB²，求CD和CH的数量关系。

我们来分析一下题中给出的已知条件，因为AE² BD²=AB²，很明显是一组勾股数，以这三条线段组成的三角形是直角三角形。

我们延长BC到点F，使得BC=CF，连接AF和EF。

在△ABC和△AFC中

BC=CF

∠ACB=∠ACF=90°

AC=AC

∴△ABC≌△AFC，AB=AF

又因为在△BCD和△FCE中

BC=CF

∠DCB=∠ECF

DC=CE

∴△BCD≌△FCE，BD=EF，∠CBD=∠CFE

因为AE² BD²=AB²

∴AE² EF²=AF²

△AFE为直角三角形，∠AEF=90°。

∵∠CBD=∠CFE

∴BH∥EF

∴∠BHE=90°，△DHE为直角三角形

∵DC=CE，点C为DE的中点

∴CH= DC=CE

这是我对这道题的理解和证明，期待您有更简便的方法分享。