世界上最美的傅里叶变换（一首伟大的数学诗）

"傅里叶"这个名字，相信很多人听到之后，一定都会觉得血液凝固、两腿发抖……，在通信专业大学生"恐惧"排行榜中，相信傅爷一定稳居前三。傅里叶变换、傅里叶积分、傅里叶级数，傅里叶分析……每一个都会让人陷入极度的痛苦之中无法自拔……

我想，已经接触到连续时间傅里叶级数的同学都会发现，此文虽然有其新颖之处、虽然被作者定调为让人"在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析"，但离透彻理解傅里叶级数还是有着不小的距离。

傅里叶（Fourier, Baron Jean Baptiste Joseph, 1768—1830）的汉语译名有12种之多，傅、富，里、立，叶、埃、哀的不同排列的译名均见到过。他于3月21日出生在法国奥塞尔（Auxerre）城的一个裁缝家庭，八岁时父母双亡成了孤儿。他是在由本尼迪克丁（Benedictines）领导的地方军事学校中受的教育。由于他是裁缝的儿子，所以不能在军队中取得军官资格；但由于他学习成绩优异，所以还是让他在军校当上了数学教师。后投身法国大革命事业，并得到了巴黎高等工艺学院教授的职位。1801—1815年他同数学家蒙日（Mnge, Gaspard, 1746—1816）一起随拿破仑到埃及进行科学考察，1798年他被任命为下埃及的地方行政长官。1816年迁往巴黎，1817年被选为科学院院士。

傅里叶的重大成就起自1807年12月21日法国科学院的一次注目的会议上，他在会上宣读的论文，写下了数学史上的新篇章。

论文宣布了如下惊人的事实：在有限闭区间上由任意图形定义的任何函数都可以分解为单纯的正弦和余弦函数的和。特别定义在（-π, π）上的函数总可表示为

这里ai、bi（i=0, 1, …）是一些适当的实数。此级数称为三角级数。

院士们不太相信傅里叶宣布的事实。论文由拉格朗日、拉普拉斯和勒让德评审，结果被否决了。但为了鼓励傅里叶更严密地发展他的思想，把他的课题定为1812年颁发的大奖课题。1811年他呈交了修改好的论文，得到了包括如上三人在内的评审小组的基本肯定，并获得了奖金。但是，仍指出了缺乏严密性的批评。没有刊登在科学院的《报告》（Memoires）上。

傅里叶对此很感愤慨，但他继续进行关于热的研究，对（*）式子换一下写法，傅里叶级数的公式或许直观一些。

很多大学生不客气地说，这个公式可以说是像"臭婆娘的裹脚布——又臭又长"，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式，不过为了积分方便，积分区间一般设为[-π, π]，也相当一个周期T的宽度。

③④称为f（x）的傅里叶系数，有了此系数的三角级数称为傅里叶级数。

若f（x）是定义在〔-l, l〕上的函数，则

当l→ ∞时，傅里叶作出了卓越的独创发明，那就是傅里叶积分。

在电子学中，傅里叶级数是一种频域分析工具，可以理解成一种复杂的周期波分解成直流项、基波(角频率为ω)和各次谐波(角频率为nω)的和，也就是级数中的各项。一般，随着n的增大，各次谐波的能量逐渐衰减，所以一般从级数中取前n项之和就可以很好接近原周期波形。这是傅里叶级数在电子学分析中的重要应用。

可以说，通信专业大学生当年一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个"傅里叶级数"或"傅里叶变换"，弄一长串公式，让人云山雾罩。但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。我询问过学习过这部分内容的大学生，他们认为这部分材料非常有趣。

1822年，傅里叶出版了专著《热的解析理论》。这部划时代著作将欧拉、伯努利等数学家在一些特殊情形下应用三角级数的方法发展成一般性的理论框架，三角级数后来就以傅里叶的名字命名。1822年傅里叶担任科学院院终身秘书，而后又担任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席，被敕封为男爵。傅里叶应用三角级数解决热传导方程，为了解决无穷区域的热传导问题推导出时称的"傅里叶积分"，这都极大地推动了偏微分方程边值问题研究。

实际上傅里叶的工作意义远不止此，它迫使数学家对函数概念作修正、推广，尤其引起了对不连续函数的探讨；三角级数的收敛性问题直接引起了集合论的诞生。因此《热的解析理论》创立的一套数学物理理论，对19世纪分析严格化的进程和后来的数学和物理科学的发展产生深远影响。

由于数学物理学家傅里叶极度痴迷热学，他认为热无所不能、包治百病。1830年的夏天注定不平常，傅里叶关上家中的门窗，穿上厚厚的衣服，坐在火炉边，结果因一氧化碳中毒不幸身亡，一颗闪亮的星就以这样的方式（热死了）陨落了，于1830年5月16日卒于法国巴黎。

科学家麦克斯韦（Maxwell, 1831—1879）称傅里叶的论文是一首伟大的数学诗。初学傅里叶级数的人或许还没有体会到诗的韵味，当你深入到那幽幽振荡的级数中去以后，亲自做过一些习题之后，就会似乎感到了诗的节律，笔者作为数学专业毕业的若有所感，直到现在还给我留下学习高数的阴影，不知读者有无嗅到。