多元微积分教学（五分钟MIT公开课-多元微积分）

简介

二重积分，微积分领域内非常重要的概念。我用了两期专门讲解二重积分的概念和极坐标下二重积分的概念。

五分钟MIT公开课-多元微积分：二重积分

五分钟MIT公开课-多元微积分：极坐标的二重积分

最直观的从几何的角度，可以认为：二重积分是积分区域与二元函数围成柱体的体积。有了这个概念以后，现在我们要跳出来，进行一些物理学角度的思考，看一下二重积分更广泛的应用。在最后，补充一些关于质心的动画，这些物理概念就不再晦涩啦。

第一部分，二重积分计算物体重量，体积和质心。.....................50%

第二部分，二重积分计算转动惯量。....................90%

第三部分，补充动画，关于质心，转动惯量。 ....................100%

二重积分应用：质量和平均体积

计算某区域的面积

一说计算面积，很容易就让人联想到，这是一重积分的工作，但是二重积分也是可以算面积的。面积可以看作是对小区域 dA 求和：

可以对密度做积分得到质量，需要计算体积。这是三重积分的工作。注意二重积分只能处理平面。

但是考虑一个平面物体，比如金属板，就可以用二重积分计算了。平面金属板的质量是板上每一小片质量的总和。一个平面物体的密度是每单位面积元的质量，因此可以对密度积分求平面物体质量。

用 delta 表示密度，dA表示小区域：

在区域R上求函数f的平均值

大家都知道有限数据集平均的意义，比如一个班的考试平均成绩，店铺平均每天的客流量。

但是无限数据集呢？

测量一个空间的平均温度，更高的准确度要求更多的测量点。数学上定义连续数据集合的平均值的方法是对整个数据集合的函数做积分，再除以这个集合的大小，也就是区域的面积。

这个平均值对各点的权重是一样的。如果是加权平均则在积分内乘以权重系数。

平面物体的质心

在直角坐标系下，物体的质心在(x,y)的加权平均处。

二重积分应用：转动惯量

质量是使物体平动的困难程度。

转动惯量用来描述刚体转动时的惯性，和质量不同，和旋转轴有关。

大概推一下转动惯量的公式，了解就行。

质点的动能：

距离质点o的r处有一点m，角速度为w，线速度等于角速度乘以半径：

所以，转动惯量的定义为：

一个大物体的转动惯量是构成大物体所有小物体的转动惯量总和。

关于原点转动的转动惯量

如果沿着x轴转动，质点到x轴的距离为y的绝对值，数值大小表示了沿着x轴转动的难度。

同理，我们可以求出刚体绕任意轴转动的公式，只要能够找到每个点到转轴的距离。

例子：

一张正在播放的碟片，设密度均匀为1，沿着中心点转动。

这就是沿着中心点转动碟片的难度，再来看下飞盘，飞盘沿边界处一点转动

如果飞盘绕着边界一点旋转会比绕中心旋转难3倍。

补充动画，关于质心和转动惯量

质心

生活中我们有这样的概念，如果想去平衡一个物体，可能会是这样的：

但是如果找到了质心，也就时平衡点，物体就能够保持平衡了：

转动惯量

现在考虑一个平衡在竖墙上的薄片:

如果稍微偏离了平衡点：

如果偏离的更大些，根据上面的公式，距离增大，导致转动惯量增大，那么下落的速度也就更快了：

密度不均匀分布

对于一个密度均匀的半圆盘：

如果组成物体的材质分布不是均匀的，那么物体的质心也会跟着移动。如图，半圆盘上颜色的深浅表示了密度的大小，先前的平衡点已经不能保持平衡了：

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