三角尺拼角教学反思（爱拼才会赢辛酉丑故事数学专栏）

作者 | 重庆 辛酉丑

对于教育教学工作，除了敬业，飞哥还是一个有信念有主张的人。“没有教不会的学生，只有不会教的老师”，很多教师都说这是骗人的鬼话，飞哥却深信不疑。如果班上的学生有十分差，他就给学生十二分鼓励。他坚信只要学生有信心，坚持不懈，顽强进取，就一定会学有所成。自从遇到灵子后，他的信念并非固若磐石，中途也曾怀疑和动摇。

灵子是飞哥的学生，身材高挑，皮肤白皙，柳叶眉、丹凤眼，性格温和友善，一说一个笑，是一个讨人喜欢的乖孩子。她喜欢和品学兼优的学生交往，很多高年级的学霸姐姐都是她的好朋友。根据飞哥的经验，这些都是好学生的表象。但是，灵子理性思维很差，不仅学不懂数学，物理、化学、生物这些理科类的科目她都觉得烧脑。仅从面相来看，灵子额头高耸，印堂开阔，眉清目秀，绝对是心灵手巧的人，无论如何不像差生。飞哥也想不通，这样灵气十足的学生怎么会学不懂数学？每当给灵子讲数学题时，心里就着急：“究竟该怎样讲她才懂呢？”有时想起《麻衣神相》中口诀，免不了埋怨作者是骗子。

灵子的记忆力很差，有些简单知识，全班同学都记住了，她却模糊不清。比如，特殊角的三角函数值，普通的初中学生早已将30°、45°和60°的函数值牢记于心，高中只需要记住0°和90°的函数值就行了。但是灵子觉得很难，解题中遇到特殊角，她不能直接写出函数值，每次都要画一个直角三角形，标出各边数据，利用定义慢慢推导。尽管飞哥在班上反复强调：“特殊角的函数值是基础中的基础，人人必须牢记于心，否则无法学习三角函数。”但是，灵子就是记不住，她的解题速度很慢，课后作业需要熬夜才能完成。有一天她找到飞哥：“老师，特殊角的究竟该如何记忆？”

飞哥说：“大家都是机械性记忆，你就强制记忆吧！”灵子说：“我记了很多次，总是记不住，你能否帮我想个办法？”飞哥皱起眉头，想了想。说：“按这个规律试一试。”说着，就在纸上画了一个表格。

飞哥指着表格说：“你先记住正弦值和余弦值，正切值是正弦值与余弦值的比值。你看看第二行中的正弦值，根号里的数据是递增的等差数列0,1,2,3,4；你再看第三行中的余弦值，根号里的数据是递减等差数列4,3,2,1,0。”灵子说：“哦，这个方法很好，我看出来了，第四行中间的三个正切值，根号里的数据是递增的等比数列3,9,27，这么强的规律，先前怎么没发现呢？否则早就记住了。”

飞哥常给学生说，数学学习最重要的是独立思考，这样才能产生应变能力，否则难以举一反三。他以前的课堂狠抓主干知识，重视框架体系，把激励学生独立思考作为重点，教学风格属于豪放型。自从班上有了灵子，风格渐渐变了，由豪放走向细腻，凡事深思熟虑，重视细枝末节。他觉得灵子缺少数学细胞，没有应变能力。再按以前的方式教学，灵子肯定会举手提问，影响课堂教学进度，说不定课间还会缠着提问，让他没时间上厕所。

比如，《穿线法解高次不等式》这一课题，对于经验丰富的飞哥已是轻车熟路，如同技艺精湛的推拿专家，不用思考，闭着眼睛也能精准点穴。飞哥现在的课堂有点婆婆妈妈，个别优生觉得啰唆。他先在黑板上随手写了四个不等式。

例1.

例2.

例3.

例2.

为了便于学困生理解，飞哥打算从特殊到一般的实施教学，从几个简单无重根的高次不等式出发，先分析思路，再板书解题过程，接着用穿线法在数轴上描述，最后归纳解题方法。若是以前，接下来飞哥肯定让学生练习巩固，而今的课堂给人耳目一新，飞哥将解题方法归纳为几句口诀，引领学生齐声朗读：

首项系数先化正，因式分解再求根；

根按大小数轴标，从右向左把线穿；

看图求解不等式，上正下负写区间。

飞哥这种从“以数化文走向以文助学”的教学方法，不知情的人以为是语文教师转行，但专家评价很高，都说飞哥的课堂有文化，洋溢着新课标气息。其实这些改变都是灵子逼的。

课堂至此，按理说全班同学都掌握了方法精髓，接下来应该巩固练习。没想到飞哥又抛出新的问题：“上述问题是没有重根的不等式，万一方程有重根又该怎样解答呢？”说完，飞哥立即将上述例题稍加修改，变为：

例5.

例6.

看到几个差生一脸懵逼的样子，飞哥暗自庆幸这个问题提得好，否则，灵子课后肯定会提问。飞哥决定培养学生的转化能力，他来了一招启发式教学，提示道：“既然没有重根的情况可以解答，现在出现重根，我们怎么办？”停顿一会，有学生回答：“可以把重根看作不同的根。也就是把重根看作不同的数，在数轴上对应不同的点。”

飞哥挥手向前一指，“很好，就是这样。我们沿着走过的路继续前进！”

见灵子咬着笔头一动不动，飞哥捋了捋袖子，无奈的只得在黑板上勾画讲解。将重根看作数轴上不同的点，依旧利用穿线法在数轴上描述，并写出答案。

解答完毕后，飞哥又修改口诀，引领学生再次朗读记忆：

首项系数先化正，因式分解再求根；

根按大小数轴标，重根还需重复标；

从右向左把线穿，上正下负写区间。

这种教学方式飞哥在另一个班作过试验，效果很好。坚信这是一种万无一失的教学方法，估计作业的正确率能达到百分之百，没想到刚一下课灵子就来问他：“老师，我有个疑问，万一方程某个根有100重或者1000重，怎么办？如果把所有根都标在数轴上，数轴至少要画一米长。”

飞哥既惊讶又失望，随即说：“灵子，勤学除了好问，更重要是独立思考。你仔细想一想，就会发现：如果重根多余2重，可以抛弃偶数重重根，变为1重根或者2重根即可。例如，某个根有99重等价于1重根，某个根有1000重等价于2重根。有的老师教过这样的口诀——偶数作切线，奇数穿对面。”说罢，飞哥在草稿本上写了两个不等式，一边在数轴上穿线作图，一边详细讲解。

例7.

同解于

例8.

同解于

飞哥耐心地问：“灵子，你懂了吗？”

灵子：“懂了。”

“真的懂了吗？” 飞哥还是不放心。

灵子：“真的懂了。不管有无重根，都是穿线法。如果根的重数很多，可以减去偶数重，转化为1重根或者2重根。我觉得‘偶数作切线，奇数穿对面’这两句口诀没有用。”

听灵子这样说，飞哥微笑地点了点头说：“聪明。”他知道灵子真的懂了。

第二天飞哥批改作业，发现灵子连续错了好几道题，叫来灵子问原因，灵子看了作业，疑惑不解地问：“老师，我完全按你教的方法解答，想不通为什么会错？”

“都怪我昨天少说了一句话，口诀只说了‘从右向左把线穿’，忘记强调开始穿线时应该从上向下穿，你的作业有的题开始从上向下穿，答案就对了；有的题开始从下向上穿，答案自然就错了。”飞哥后悔自己考虑不周，没想到灵子会出现这样的错误。

“哦！我明白了。开始穿线时一定要从上向下穿线，从右向左穿线。”灵子一拍脑门，一副豁然开朗的样子。随即又说：“老师，我还有一个小小请求。虽然我现在记住了，但是，一个月后或者一年后，究竟是从上向下穿，还是从下向上穿；究竟是从右向左穿，还是从左向右穿，可能我又混淆不清了。老师，根据你的经验，像我这种水平的学生，你应该想一种绝招，让我久久难忘的绝招。”

“你不急，让我想想。” 飞哥紧皱眉头，沉思良久。突然问道：“你用过针线吗？”

灵子：“我是住校生，用针线订过铺盖。”

飞哥：“你是右手用针吧？”

灵子：“我不是左撇子，肯定右手用针呀，有人说左撇子聪明，我数学不好是不是与右手用针有关？”

飞哥：“数学学习与右手用针无关。我想你可以通过右手用针的习惯来帮助记忆，你用针线订铺盖，第一针肯定是从上向下穿线吧？”

灵子：“是的，从下向上穿线容易刺到手指。”

飞哥：“你用针线订铺盖，肯定是从右向左穿线吧？”

灵子：“是的，从左向右，憋手，没办法穿线。”

飞哥：“今后用穿线法解题时，你想一想订铺盖时用针穿线的方向就对了。”

灵子：“哦！这个方法好，应该是终生难忘的绝招。”

看着灵子离去的背影，飞哥想起农村老人告诫小孩的话，“不要吃鱼籽，吃了鱼籽会变成愚子。”难道灵子童年吃过鱼籽？从那以后，灵子问数学题越来越频繁，在教室里问，在办公室问，在上学路上遇到飞哥也要问。不懂的问题肯定会问，懂了的问题她还要寻找记忆绝招。为了灵子的数学学习，飞哥想了很多办法，挖掘数学潜在的规律帮助记忆，编撰故事帮助记忆，利用生活体验帮助理解，数理化学科结合帮助理解……。但灵子的问题层出不穷、千奇百怪，飞哥的招数相形见绌，渐渐地有些力不从心。有时飞哥自问：“真的没有教不会的学生吗？这是哪个专家说的？”年级大会上校长强调：“眼看临近期末，各班要作好文科、理科分班的动员和准备。”飞哥似乎看到了希望，自己是竞赛教练，校长肯定安排教理科，教育本该扬长避短，发展学生优势。灵子数学基础很差，不适合学理科，应该劝她读文科。有一次灵子来问数学题，飞哥一边讲解一边和她交流谈心，说理科数学难度很大，没有天赋的人学习很苦，今后大学学习更加艰难。文科数学内容比理科少得多，而且要求较低，很多大学的文科专业不学数学，像英语、法学、历史这些学科可能一辈子也不会涉及数学，对于数学基础不好的学生，选择文科是明智之举，今后工作轻松，生活精致、品位高。灵子说：“我是不会学文科的，我们家祖祖辈辈都没有人学文科，我爷爷是造汽车的，我奶奶是注册会计师，我父亲学的土木工程，我母亲是内科医生，我的表哥堂姐都是学理科的，无论如何我也不会学文科。”

“学理科真的很苦很累，有的学生秃顶像葛优，有的学生抑郁跳了楼，你能坚持下来吗？”飞哥想吓唬她，希望她知难而退。

灵子说：“班主任经常说：人总是和困难作斗争的，只有拼搏的人才会优秀。老师，记得这首歌吗？《爱拼才会赢》。”

飞哥心里明白，这个包袱是扔不出去的，唯一的办法是减小包袱的重量。有一天晚自习，飞哥评讲试卷，持续讲了两个多小时，口干舌燥，腿脚发软，刚到办公室坐下，灵子就来了。飞哥叹了一口气，说：“灵子，现在很晚了，比学习重要的应该是安全，你是女生，建议早点回寝室休息，有问题明天再问吧。”

“老师，你放心！不存在安全问题，我约了几个同学一道回寝室，她们在门外等着我。”

飞哥赶紧招呼几个同学进来坐，笑着对灵子说：“你的朋友蛮多的！”他知道说什么也没用，不给她讲解肯定回不了家。他立即端起茶杯，一饮而尽，拿起纸笔就开始讲解。

灵子真是个怪人。根据飞哥的经验，数学基础不好的学生作业喜欢偷工减料，遇到问题总是避重就轻。灵子完全不同，她勤学好问，顽强进取，好啃硬骨头。最让飞哥想不通的是，外表甜美的玲子一点不像女生，很多表现远胜于男生。一般女生不爱提问，就是不懂也闷着不说，常有学生给飞哥说：“老师，课堂上你不要问我‘懂了吗’，你不问其他同学，是不是觉得我很笨？”灵子特别喜欢提问，从不担心别人嫌她笨，最奇怪的是竟然当着老师的面承认思维自己不好，而且还用校长的口吻给飞哥提要求：“老师，你教学不能只考虑优生。应该多思考、多研究，寻找简单易懂的绝招，想办法把我这种水平的学生教懂。”

灵子喜欢学习，又爱和优生交朋友，江城几个重点中学的学霸毕业后都把笔记本送给她，不知道她读了多少学霸笔记，也不知道有多少收获。学霸水平高，笔记简略，只是记录解题思路，笔误、跳步都是常事，不适合中差生阅读。灵子却看得津津有味，她从未担心看不懂，一旦遇到疑问就缠住飞哥问。对于笔误和跳步这些疑问，飞哥三言两语就可以解释清楚。但是，数学中有一些知识难度很大，即使教学名师也未找到突破口，偏偏灵子不是知难而退的人，她要迎难而上，还经常鼓励飞哥教她绝招。

记得有一本学霸笔记中介绍了圆锥曲线的焦半径公式，焦半径不是大纲要求的内容，为了帮助优生在考场时秒杀难题，个别教师就额外补充。飞哥和其他老师一样，关注高考动向，知道双曲线考得少，课堂上重点讲解椭圆和抛物线的焦半径公式，至于双曲线的焦半径，飞哥只是蜻蜓点水，简单介绍、不作深究。灵子看到学霸笔记中有一个表格，给出了三种曲线的焦半径公式，她找到飞哥，想把公式弄明白。

灵子：“老师，你看椭圆和抛物线的焦半径公式都没有绝对值，为什么双曲线的焦半径公式有绝对值符号？能不能把绝对值符号打开？”

飞哥：“高考很少考查双曲线，你不用了解。”

灵子：“老师，你以前说过，读书不是为了应试，主要是学知识，练本领，知识肯定越多越好。”

飞哥：“这个知识很难，你看椭圆和双曲线的焦半径公式形式相同，双曲线的焦半径公式只是多一个绝对值符号，你了解这点知识就够了。如果把绝对值符号打开，涉及到正负号的选择，总共有四种情况，很难记忆。所以老师要求你们根据坐标平移中‘左加右减’的规律，记住到左焦点的焦半径是加号，到右焦点的焦半径是减号，没必自找苦吃。”

灵子：“但是，这个绝对值符号不打开，在解题中无法运算，这个公式等于是废物。老师，你还是把去掉绝对值符号的四种情况告诉我吧。”

飞哥想，不告诉她肯定会死缠烂打不罢休，于是说：“不是不告诉你，我是担心你记不住，徒增烦恼。”说罢，拿出纸笔，画了一个表格，介绍双曲线焦半径的四种情况。

灵子拿着公式默默记忆，过了一会儿，灵子说：“这个公式确实有难度，我相信能记住，估计管不了几天就忘了。老师，你是竞赛教练，肯定有记忆巧法。”

飞哥：“灵子，一个人要懂得放弃，有时放弃就是进取。这个公式真的没有记忆巧法，如果有，我早就在课堂上教你们了。”

灵子：“老师，我也是有理想有追求的人，怎么能轻易放弃呢？这也放弃那也放弃，人生还有什么意义？”

飞哥：“这个公式真的很难，我确实找不到记忆巧法。”

灵子：“老师，我相信你，你一定能找到记忆巧法。如果找到了巧办法，对我的学习和你的教学都有帮助，这是双赢呀！”

飞哥：“好像想到了一种方法，我用极端性原理试一试。”

灵子竖起拇指笑着说：“我就知道老师水平高，办法多。”

飞哥说：“如果P点在左支上，你把P点看作左边无穷远处的点，这时它的横坐标，很容易发现，显然

，如果P点在右支上，你把P点看作右边无穷远处的点，这时P点的横坐标，很容易发现,显然

灵子：“老师，你为什么要把P点的看作无穷远处的点？无穷远处究竟是多远？如果P点不在无穷远处怎么办？”

飞哥：“灵子，放弃吧!我真的给你讲不懂，我认输好不好？我举手投降可以吗？”

灵子：“老师，你不要着急，你要有信心，慢慢来，我相信你一定能给我讲懂的。”

飞哥心想，极端性原理比焦半径公式更难，用极端性原理讲解只能越讲越糊涂。飞哥看着表格中的公式，思来想去，突然迸发灵感，大声说：“灵子，这个办法肯定适合你。”

灵子没想到老师这么快就找到了新方法，好奇地问：“真的吗？什么方法？”

飞哥站起身子，叫灵子跟着他一起走正步，飞哥故意放大动作幅度，一边高高摆动手臂一边说：“你看，我出左脚摆右手，出右脚摆左手，这是正常人的走路姿势，表示‘一左一右对应正常人’。在双曲线的焦半径中，我们可以类似的看作‘一左一右对应正号’。这就是说，左支上的P点到右焦点的焦半径，绝对值符号后打开为正；右支上的P点到左焦点的焦半径，绝对值符号打开后为正。这和我们正常人走路完全一样。”

灵子说：“这个方法很好，我记住了。快说说左支上的P点到左焦点的焦半径怎么思考？

飞哥又用同边手的方式走正步，一边走一边说：“你看，我出左脚摆左手，出右脚摆右手，这种同边手走路姿势就是病态人。在双曲线的焦半径中，我们可以类似的看作‘同边手对应负号’。这就是说，左支上的P点到左焦点的焦半径，绝对值符号打开后为负；右支上的P点到右焦点的焦半径，绝对值符号打开后为负。这和同边手走路完全一样。”

灵子鼓掌叫绝：“这个类比生动有趣，我肯定一辈子也不会忘记。老师，你真是牛人！比特级教师还厉害。”

灵子就是这样挑选数学“骨头”，也是这样为难飞哥、鼓励飞哥。他们在“为难”与“解难”中博弈，在博弈中进步，灵子考上了重点大学，飞哥也评上了骨干教师。

灵子毕业前夕，飞哥找她谈话，告诉她理科中有些专业涉及数学不多，建议她选择医学、经济管理等专业，学起来相对轻松。两年后的一个暑假，灵子回母校看望飞哥，说她学的统计，是班上的学习委员，经常辅导班上的学困生。飞哥暗自赞叹同时又百思不得其解：“统计学涉及很多数学，灵子是如何挺过来的？还是学习委员，难道她的脑子开窍了？”又过了几年，大约是寒冬腊月，飞哥宅在家里看电视，突然听到敲门声，开门一看，一个时尚的女青年提着一大包东西，微笑着说：“老师好，给你拜个早年。” 飞哥先是一愣，随即就从熟悉的声音中明白过来，“这不是灵子吗？怎么变样了！”灵子说，大学毕业后，到澳洲墨尔本读了硕士，现在外企上班。她说过去有点憨，只知道傻读书，从未考虑过恋爱，看到一个个同学成家立业，父母催得紧，就花了点钱到韩国美容医院弄了一下，突然笑着问飞哥：“老师，你看我的双眼皮漂亮吗？”飞哥赶紧赞美：“你以前的丹凤眼很秀气，只是现在更显得妩媚了，刚才进门时我还以是宋慧乔。”……

从那以后，经常听到飞哥沙哑的嗓子哼着一首熟悉的歌——爱拼才会赢。

作者简介：辛酉丑，重庆潼南人，1991年7月毕业于西南师范大学数学系，重庆某重点中学正高级教师，重庆“322”重点人才(二层次)，重庆学术技术带头人后备。主持省级课题2项,主研省级课题2项，参与国家级课题2项；参与编写了大学教材《小学数学教育概论》和重庆地方教材《研究性学习》；出版专著《数学与生活》，《数学解题泄天机》，在《数学教育学报》《数学通报》等杂志发表论文70多篇，其中核心期刊20多篇；数学教育论文曾获全国紫京杯数学教育创新论文一等奖,初等数学论文获全国第二届青年初等数学研究奖；指导学生在《数学通报》等杂志发表文章16篇，指导8名学生进入全国高中数学奥林匹克冬令营，中国数学会三次授予优秀教练员。近几年在西南大学、重庆师范大学、重庆教育科学研究院、重庆第二师范学院、重庆三峡学院以及重庆部分区县教师进修学院和一些中学主讲60多场。重庆晚报、重庆晨报等媒体曾专题报道。

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