圆上某一点到切线的最短距离（圆上任意一点到圆外某直线的距离最值公式加快解题速度）

定理31：圆上任意一点到圆外直线l的距离，最大为d r，最小为,d-r，d为圆心到直线的距离，r为半径

通过这一简单的结论，在一些习题中遇到有关的题目，可以为我们提供解题的关键思路；只需要背下这个公式，即可做到秒杀该类型的题目，大大缩短了做题时间。

我们先证明一下这个公式：

证明圆上的任意一点到圆外直线l的距离，最大为d r

画一图，过圆心O作一直线垂直于右边的圆外直线l，交圆于Po和N点，垂足为M2，可知Po到直线l的距离为d r（d为圆心O到直线l距离即OM2长）

再任取圆上一点P（除Po外）做直线l的垂线垂足为M1，P到直线l距离为PM1长

连接PPo和PN，构成圆内直角三角形，可∠PoPN为直角，∠PoPM1为钝角；

过P做PoM2的垂线垂足为M，（由于∠PPoM2为锐角所以点M在线段PM2上）可知PMM2M1为矩形，PM1=MM2<PoM2

即PoM2=d r为圆上任意一点到圆外直线l的距离最大值

(2) 证明圆上的任意一点到圆外直线l的距离，最小=d-r

我们同样画一张图，过圆心O作一直线垂直于右边的圆外直线l，交圆与Po和N点，垂足为M2，可知Po到直线l的距离为d-r即PoM2长（d为圆心O到直线l距离即OM2长）

再任取圆上一点P（除Po外）做直线l的垂线垂足为M1，P到直线l距离为PM1长

连接PPo和PN，构成圆内直角三角形，可∠PoPN为直角，∠NPM1为钝角

过Po做PM1的垂线垂足为M，（由于∠PoPM1为锐角所以点M在线段PM1上）可知PoMM1M2为矩形，PM1>MM2=PoM2

即PoM2=d-r为圆上任意一点到圆外直线l的距离最小值

接下来，我们用一道例题来展示一下这个公式的简便性与实用性。

（2013春•金安区校级月考）

【直接记住结论解题】

首先运用数学三招的第一招翻译，

再利用直线的斜截式方程得出切线的方程是y 1＝﹣（x 1），

化简得切线的方程是x y 2＝0

最后通过我们的盯住目标，目标是求圆上任意一点到直线l距离的最小值，立马联想到我们的定理31：圆上的任意一点到圆外直线l的距离，最小为d-r

但我们要先判断直线是否在圆外，我们需要算一下圆心（3，2）到直线l的距离

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