小船渡河问题中船速大于水速（小船过河小船靠岸）

求做直线运动物体的速度和位移，用什么公式？Vt=v0 at,x=v0t 1/2at2.同样的，求做曲线运动物体的速度和位移，可以怎么做呢？先进行分解，得到最熟悉的直线运动：“正交分解、化曲为直”：变曲线形式的合运动为两个直线形式的分运动；用平行四边形定则，再把两个分运动中待求的矢量进行合成，就可以得到答案。

水平抛出一支粉笔，运动轨迹是一条抛物线，做匀变速曲线运动。已知粉笔水平初速度是5m/s，竖直方向做自由落体运动，求3秒末粉笔的速度是多少？

第一步，“化曲为直”：粉笔的合运动是匀变速曲线运动。根据题意，可以分解为水平方向的匀速直线运动，和竖直方向的匀加速直线运动。

第二步，“求分物理量”：水平分速度v水=5m/s；竖直分速度v竖=gt=10*3=30m/s；第三步，“分量合成”：利用平四法则，合速度的大小是（52 302）1/2，方向是tan

θ=1/6.

同学们喜不喜欢柯南？他是我最喜欢的动漫人物之一，尤其是临近考试时，找幅柯南画像挂在桌前，心里面很安慰。不只因为“挂科难”，还想拥和柯南一样睿智。今天我们跟随柯南走进现场，当一回侦探。请问各位侦探，当车速不低于多少时，能够飞跃到对面大楼的楼顶呢？

还原一下现场：楼距60米，楼高差20米，驾车从A位置飞到B位置，最低车速为多少？汽车实际的运动轨迹是不是一条抛物线呢？对，它在做匀变速曲线运动。那我们可以把这个运动“化曲为直”：分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。由于分运动之间具有等时性，所以汽车在水平和竖直方向经历的时间应该相等。水平方向的时间是60/v，竖直方向经历的时间是△H=1/2gt2，所以t=(2*20/10)1/2=2s；由此可得，v=60/2=30m/s=108km/h.好，我们看看大家的推理是否正确？

果然没错！看来完美的推理是要以缜密的科学为基础的。从这点看，柯南一定不是小学生了，因为他学过“运动的合成与分解。”

三类常见“运动的合成与分解”问题。

“小船过河”问题。一条河岸，其中有水。水速v2，从左向右流动。船速v1，为船在静水中的速度。

A、均恒水速问题

第一种情况，是船速>水速。这个船的性能不能太差了，至少比水流的速度大。在此前提下，有两个问题。楚霸王兵退乌江，看到有一樵夫，他是想用最短的位移还是时间过河？ 渡河时间如何最短？你作为樵夫应该怎么做？船速大小已经固定，你能掌握的是谁？只有船头的指向。船在流水当中，要被水往下游冲（被时代的潮流所裹挟，随波逐游，这个速度是漂流不是过河）；船本身还有一个速度。水流速度是横向的，并不影响渡河（独立性），只有谁能影响渡河时间？船速。故当船头正对对岸（船头是直的，但是身体是诚实的，像极了过年收红包的样子），全力以赴往对岸开所需时间最短。（能量角度分析：能量火力全开都用于速度大小）在这种情况下，船实际发生的运动应该是两个速度的合成。指向船的下游o’点。船头正对对岸用时最短，由于分运动与合运动具有等时性，在这个方向的时间和总时间相等，所以渡河时间就是t=d/v1，即岸宽比船速；渡河位移等于d/sinα（α为合速度与河岸的夹角）。

考试题喜欢问：“渡河时间最短，保持船头正对河岸，行至河中央突然洪水来了，船最终到达对岸，问时间变还是不变？”第一感觉肯定是要变，实际上变不变？不变！为什么？岸宽不变，船速没变，用时t=d/v1就不变。哪个变了？到达下游的位置。抵达到更下游的地方去了。

渡河位移如何最短？乘客不管你快不快，只管你贵不贵，反正你划船我也不累。。显然船头正对对岸的模型，走过的距离不是最短，是一条斜线。怎么就最短了？当船沿着出发点o以河岸的垂线方式行驶，是不是就最短了？实际上，这条船，随波逐流的速度v2，要走垂线，它的合速度一定是沿着o到o’点这个方向的，此时船头的方向还能不能指向河对岸了？不能了。根据矢量相加的平行四边形法则，知道：船头应该指向上游，（能量角度分析：部分能量用于修正航向）但指向上游并非随意，有个船头与河岸所成夹角的问题。角θ等于多少？其实就是这个角θ对吧？ cosθ=V2/v1，此时，渡河的最短时间为t=d/v1sinθ.

第二种情况，船速<水速。船撞冰山漏水了。在这个背景下：

渡河时间如何最短？仍然船头正对对岸。

渡河位移如何最短？水速沿水平方向，想让合速度垂直于对岸刚才是可以的，因为船速大于水速，斜边大于直角边。船速小于水速，还能实现吗？欧几里得集合实现不了，因为内角和溢出，闵氏几何才能做得到。在这种情况下，最小距离不再是河岸宽度d，船会向下游飘移。这个时候使用的方法是矢量三角形法——辅助圆法。以水速v2的末端为圆心，以船速v1的大小为半径做圆（一扎做圆，“人体圆规”），过o点做圆的切线。这就是船速v1，这就是合速度v合。而这条线段所代表的长度就是最短的渡河距离。即合速度与圆相切时，渡河距离最短。此时船头仍然指向上游，它和河岸的夹角θ为cosθ=v1/v2，即船速比水速。两种情况都是余弦，但含义不同。做题技巧：不管水速大还是船速大，只要问到当船头与河岸夹角的余弦值为多少时，所需距离最短？用小的速度除以大的速度，因为余弦的值肯定小于等于1，这是一个数学技巧。而此时的最短位移为Smin=d/sinθ.

1. 非均恒水速问题：水中央速度最大（到中流击水，浪遏飞舟：英雄气概）

友谊的小船渡过河，就该靠岸了—— “小船靠岸”模型。不光是小船，很多物体的运动都可以概括,也叫作“牵连问题”。底下是一条河，上面是一条小船。通过光滑定滑轮，绳子的一头拴在船上，另一头速度是v0，拉着这个小船靠岸，小船将做怎样的运动？匀速运动？加速运动？减速运动？

“小船靠岸”有两个概念：一个是“细绳模型”：理想的绳和杆是刚性的，不可伸长：拉绳子的时候，相同时间，绳两端增加和减少的长度是相同的。因此在绳子两端，沿着绳子的方向，速度大小是相等的。第二个概念：物体的实际速度一定是合速度。（分解两个分速度方向应取沿绳方向——平动、垂直于绳的方向——转动）。如果绳子一端以v0做匀速运动，小船将做怎样的运动？好多同学想这样做，不是说绳子中的速度相等吗？这里的速度也是v0,，把这个速度正交分解，求的是水平分速度v1.显然，v1与v0存在三角关系v1=v0cosθ，靠岸过程，θ增大，cosθ减小，即v1减小。这就是最典型的错误分解方法。错在哪儿？错在没有深刻认识合运动就是实际发生的运动，是肉眼可见实实在在的运动。（否则成了飞船）v1是不是小船实际发生的运动？是，所以它应该充当什么运动？合运动。这里把它当做什么了？分运动了，所以就不对！竖直方向的v2可不可能存在？小船能飞起来吗？不能。孤儿它是不存在的。那怎么做呢？船实际发生的运动是合运动，你要分解的是它。题目给了v0了，所以这是一个分解方向（收风筝线）；另外垂直于绳是不是还可以分解出一个速度：圆周运动的线速度？（线在旋转，不让船脱离水面）由此得出：v=v1/cosθ=vo/cosθ：小船的速度在变大，是匀加速吗？是cosθ的非线性关系。（实际上，快靠岸的时候不仅不拉绳，还要踹两脚/船头会垫旧的橡胶轮胎），跟刚才的结论正好相反。那这道题最重要的一点，就是你要清楚：你分解的是谁？是合运动，而不是分运动。人生可没有橡皮擦。

拓展：有一个定滑轮，定滑轮下方吊着一个物体。是一个正往上升的矿井。这根绳子通过定滑轮连接一辆汽车。汽车匀速行驶，自然要把矿井拉上来。矿井受重力作用，受绳子拉力T的作用，这个拉力T和重力G做比较而言，是比重力大？还是小？还是相等？拿到这个问题，怎么入手？咱们学过超重和失重。要分析受力，先看运动：如果加速上升，T>G；如果减速上升，T<G；匀速上升的话，T=G。所以关键点在哪儿？就是矿井的速度如何变化？我们先分析速度：小车实际的速度是v0，为合速度，把它正交分解为沿绳方向的速度v1和垂直于绳方向的速度v2，设与地面的夹角为θ.可得v1=v0*cosθ，由于一根绳子上速度总是相等的，所以v=v0*cosθ.小车向右行驶的过程中θ在减小，说明物体的速度在增大，也就是在做加速上升，具有向上的加速度，具有向上的合外力；合外力等于谁？T-mg，显然，有：T>mg。

“贵人出门多风雨”，小船渡河、靠岸后就刮起风下起雨了，这就是风（雨）速模型。以例题的形式来分析：一辆车以16m/s的速度向东行驶，雨点的速度是12m/s，方向竖直向下.问：车上的人看到雨点的运动方向是朝哪儿？下雨天坐汽车看到过雨滴的飞行轨迹没有？那个轨迹长啥样？应该是斜的吧？如果你看到雨滴是沿着车窗竖直往下落的，只有一种可能：汽车现在静止不动。但凡车动，雨都是斜的。车速向前，雨滴速度向下，你在车厢中看到雨滴是怎么飘的？是这样向右下方飘的？还是向左下方飘的。哎，有一些同学认为是右下方，原因是什么？哦，根据运动的合成。但结果恰恰不是这样。为什么？参考系的问题。你在车厢中看到雨滴怎么飘？参考系是谁？是车厢。雨滴相对于车有一个向左的速度，就是车的速度16m/s，此时雨滴还具有向下的速度12m/s。所以关键在于参考系的确立：以大地作为参考系，你在水平运动，雨滴并不动；但以车为参考系，车是不动的，雨滴就会得到一个水平方向的速度，就像在火车里看电线杆一样，是不是原本不动的电线杆，以火车为参考系之后就往后退了？二者合成得到的合速度就是25m/s，方向朝左下方。这就是这个轨迹的成因。

同样的，风速问题。什么是风？就是空气的流动。风速是人感觉到的，在这个背景下，有两种情况：一种是人不动。人站着不动，感到风向你吹来，就是风实际的速度。但有一种情况是人动：假如人是沿着这个方向动的，那么刮风还是刮的这个方向的风，人感觉到风是朝哪儿刮的？人是沿着正东方向运动的，风是沿着正南方向刮的，你感觉刮得是什么风呢？（这个小明姓黄，晓明说：“不要你觉得只要我觉得”，这个问题需要《明学》，因为我是参考系）东风/南风还是北风，还麻将呢！反正不是最炫民族风！是不是沿着这一方向？（东南方向）和车一样：人往东走，以人为参考系，相对人而言，风是向西吹的，再与向南的速度合成，总的速度是向哪儿吹的？西南方向。你会感觉到，实际风是朝这个方向刮的。人感觉到的是合运动。以人为参考系的一种合运动：马克思主义只有中国化才能形成中国特色社会主义、（风向指风来的方向）

• 思路

找中介参考系问题：绝对速度=相对速度 牵连速度

再结合矢量的三角形合成的几种情况求解。

• “小船渡河问题”：中介参考系——“水”

绝对速度：小船与河岸之间的速度；

相对速度：小船与水之间的速度；

牵连速度：水与河岸之间的速度。

• “风速问题”： 中介参考系——“人”

绝对速度：风与地面之间的速度；

相对速度：风与人之间的速度；

牵连速度：人与地面之间的速度。

曲线运动“曲直谈”：

• 一般的曲线运动的解决方法：“化曲为直，正交分解”；
• 速度可分解为切向速度vt和径（法）向速度vn，
• 加速度可分解为径、切向加速度an=,at=
• “小船靠岸”：速度可分解为沿绳方向的平动径向速度vn，以及垂直于绳方向的转动切向速度vt；加速度亦如此。