初中几何辅助线知识点汇总（中考几何压轴17辅助线法则）

中考几何压轴 17 辅助线法则 终极经典解析 费马点思想 与 隐形圆 的结合

这一系列，不限专题，解析系列经典几何题，提高几何分析解决问题能力。

题20.《动点的约束方程》

P为等边△ABC所在平面内一动点，且满足PA²＝PB²＋PC²，设AB＝2，求当PA取最小值时，PB的长度。

〖一般性提点〗

本题值得思考的地方还是挺多的。选择重点探讨之。

费马点最值模型的价值

动点最值问题中，动点被限制在“某个区域”而非某条曲线的情形是非常少见的，但最值的费马点模型是典型的“特例”。

费马点模型的价值，在于解耦 “星形耦合线段”的基本方法：旋转相似（全等）变换。遇到线段星形耦合的情况，旋转相似变换通常是有效的解耦方法。

“约束方程”

本文将动点关联线段满足的等式，名为“约束方程”。一般这样的“约束方程”会把动点约束在某条曲线上。

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考察典型的圆的“约束方程”的例子。

[1]. 动点到定点的距离为定值

PO＝R，

其轨迹为以O为圆心，以R为半径的定圆；

[2]. 动点到两定点距离之比为定值

PA/PB＝k，一般规定0＜k＜1

其轨迹为阿氏圆；

[3]. 动点P到两定点A、B距离的平方和等于两定点间距离的平方

PA²＋PB²＝AB²，

其轨迹为以AB为一直径的定圆。

[4]. 动点到一个定三角形三个顶点的距离构成勾股弦线段：

PA²－PB²－PC²＝0，

其轨迹为定圆。

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从解析几何的观点，容易理解上述约束方程都代表着圆：（1）都是关于动点坐标P(x, y)的二次方程；（2）x²、y² 的系数相同；（3）不含xy项。这三条决定了其轨迹是圆。

〖题目分析〗

[1]. 纯几何方法判断动点轨迹：旋转相似变换方法

题设图和最值费马点模型图一模一样，但本题并不是费马点最值问题（求m·PA＋n·PB＋λ·PC的最小值）。星形耦合的解耦方法，即旋转相似变换仍然是纯几何方法解本题的钥匙。

旋转相似变换需要解决四个基本问题：（1）选择合适的定点作为绕点；（2）确定旋转的角度α的大小；（3）相似比；（4）确定变换的对象。

由于约束方程

PA²＝PB²＋PC²

中，各线段的系数为1，所以系数三角形（决定旋转的角度）为正三角形，无论选择哪个顶点为绕点，旋转角度都是60°；相似比为1，为旋转全等变换；。

虽然和费马点最值模型一样确定旋转相似变换的参数，但考虑的角度就不一样了。在费马点模型，是考虑将星形耦合线段解耦为首尾相接的折线段；而在本题中，基于约束方程的特点，需要考虑解耦后三条线段构成一个Rt三角形，并由此确定绕点和变换的对象。

具体地，以C为绕点，旋转的对象是△BCP，旋转角度为顺时针60°。

如图，将△BCP绕定点C顺时针旋转60°至△B´CP´，其中B´和A实为同一点。易知，△BCP≌△B´CP´，B´P´＝BP；△CPP´为正三角形，PP´＝PC。

约束方程决定了△AP´P为直角三角形，∠AP´P＝90°，又∠PP´C＝60°，∴∠B´P´C＝90＋60＝150°，即∠BPC＝∠B´P´C＝150°。

这样，动点P的轨迹确定为是圆：P对定线段BC的张角为150°，其圆心O在BC垂分线上，且圆心角＝2×（180－150）＝60°，∴OBC构成等边三角形。

显然，当P在AO连线上时PA取得最小值。连接AO交圆于N，交线段BC于M，则 min(PA)＝AN，对应的PB＝BN。

剩下的就是解15°Rt△BNM：BM＝1，MN＝AB－OM＝2－√3，

BN＝√(8－4√3)＝√6－√2，即

PB(at min(PA)) ＝√6－√2。

[2]. 基于代数思维判断动点轨迹

约束方程

PA²＝PB²＋PC²

是关于动点坐标P(x, y)的二次曲线，且x²和y²的系数相同，不含xy项，故动点轨迹为圆。

基于对称性，该轨迹圆的圆心是A关于BC直线的对称点O，即△OBC为等边三角形。关于这一点，稍加笔墨：

取BC为x轴，AO⊥BC为y轴，则易知圆心O的坐标：

x(O)＝x(B)＋x(C)－x(A)＝0

y(O)＝y(B)＋y(C)－y(A)＝－√3

余者同方法[1]。

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