集合中的不等式解题方法（交代一段不彪悍的人生）

谨将此文，献给

(萱萱∪理工生∪翠花∪数理姜辣蒜)

数理姜辣蒜于湘大，2021.05.21

测试楼前风吹雨

画眉塘里我唱歌

人生喜郁终须散

交并差补自离和

一. 引子

最近睡不好，上床好久都不能入睡，搞本《数学分析》来床头催眠。

第一页，集合。

集合，集合，旧恨上心头。

九四年新进高一，云里雾里。定义都知道，结论也能记得，抛开韦恩图，推理很是个绕。而后，单元测验不及格。

全班仅有的两个不及格，我荣居其一。另外一位是邻村的，我曾经的小学同班同学兼当时的高中同班同学。要知道，他是当初小升初到涟源一中再本部初中保送升的高中；而我是放弃中专（94年那会中专还很是个香饽饽）进的涟源一中！

彼时彼刻，难兄难弟，执手双双，四目相对，或嚎或啕，且凝且咽，自信尊严，灰飞烟灭。

后来跌跌撞撞进了湘潭大学学化学。也曾高数一枝独秀。但姜辣蒜自己知道，数学于我，依旧是一杯离心而成的澄清溶液，浑浊随时复发。集合就是其中尘埃，大大一颗。

物换星移廿六秋，眼花鬓白点新烛，催眠初衷浑不计，誓把这颗溶今时。

本着达则兼济天下的夫子原则，当然不能只我个人把它弄通透，应该必须舍我其谁地创立集合九阴白骨爪：让所有新手迅速掌握、应用集合；让所有的老手在时隔多年需要重新捡起它的时候，稍一过目，了然于胸。

找七寸。

集合麻烦，根本原因在于交并补很绕。不直观，不亲民。尽管韦恩图用来验证、理解，那是效果杠杠，但用来推导证明，你让只凭计算算出安培定理的安培、一统电磁江湖的麦克斯韦、高斯、欧拉等往圣先贤情何以堪？

更何况，四个以上的集合，你构筑个韦恩图，试试看。

韦恩图别指望了，还有啥招？

当然有，国际惯例，放大招之前，先要准备准备。

二. 准备工作1. 现有的关于集合的定义、概念和运算规则1

交（），并（），补（，），空集（），子集（，），全集（），属于（），韦恩图，一笔带过。

2. 引入新概念

相离，相重，和集

（1） 相离：

若， 称与相离，简称相离。

（2） 相重：

相重与相离刚好相反，若，则称与相重，简称相重。

（3） 和集：

由彼此相离的多个集合相并而成的一个集合，称这个表达式构成一个和集，简称为和。显然和集是并集的特别款（还可能是爆款哦）。这一概念将会带来理解、表述上的方便。

3. 新用旧运算符

重新审视并启用减运算符，，在运算过程中取代相对补集，即。

4. 引入新运算符

新引入加运算符，记作，在运算中代替并集，继承的交换律，即：

5. 定义运算符的优先级级别

上式左边的括号是可以去掉的，用它，则隐含了运算优先级规则，即并高于加。四个运算符的优先级定义为：

万事俱备，待我集合。

三. 我的集合世界

不骑白马，不驾祥云，就是交、加、减三样法宝，用运算能力取代逻辑能力，收服已有性质、定理和应用，更加轻松，还能多收服那么一丢丢。

请闻我详。

实数运算表达式中，各项带符号自由移动不影响运算的最终结果，故其运算过程具有很多用来简化运算的技巧。这个运算大家都玩几十年了，什么交换律结合律一堆规则，相信大家熟悉到了骨髓。如果集合也可以用加减研究运算，那不是直观了当，爽翻天？

然而，若各表示的是集合，运算表达式相应地成了集合运算，其中不能随意移项，移项通常情况下会改变运算结果。

通常通常，有没有峰回路转苦尽甘来的异常？

有，若彼此相离，则集合运算表达式中的后三项可以自由移动。眉毛胡子，你爱先抓谁就先抓谁，你爱先画谁就先画谁，随你任性。

一生二，二生三，三生万物。有此一特例，有交加减这三个运算符，足以干翻集合。

1. 天生属性（1） 无为有处有还无：

若有，恒有

（2） 并二成三和

两个集合的并集，总可以分解、构造成一个包括它们的交集在内的三个相离集合的和集，即

其中

证明：

原命题得证。

2. 交减变换律

证明：

故原等式成立。

特别的，取，则有，将交与减联系了起来。

这里借用了布尔代数的成果用描述法证明。尽量少用，后面会再用一次。

3. 最终决定律：

若，则

。

该性质也可分解为以下四个：

这个东东很直观，好理解，我这里只以

为例证明。

证明：

原命题得证。

4. 减法分配律

证明：

而

故原命题成立。

显然，上述性质的拓展：也成立。

5. 相离集合的性质

运算次序自由律：若运算式中， n个集合彼此相离，那么任意集合（取1至n），都可以带其前面运算符在后任意移动而不改变运算结果。

可以这么阐述下这个命题，一伙人，一个靶，有打靶的，还有修靶的，规定每个人打和修只能二选一，打或修的位置都定死，彼此位置不重叠，那么，谁先谁后对结果有影响吗？当然没有。

这种感性模型只能帮助理解，证明还得另谋出路。

有三种情况。

（1） 首先是连加。

加法继承了并的交换律，不仅后面的n项，前面的集合都可以参与移项。即便彼此相重，命题也成立。

（2） 再看连减。

如此，借助的逻辑运算，用差的定义，将连减转化成减去一个和集。而和集内元素满足交换律可以任意移项，故原命题得证。这个变换与代数里的连减一样，爽歪歪，很好用。

这里彼此相重也成立。

（3） 复杂一点，加减交错。(A) 先证明三个集合的简单情况。即

证明：

而相离，即，上式右边

故三个集合的情况下原命题成立

(B) 利用（A）来证明多个集合的情况

原命题等价于：运算式中任意互换位置不影响集合表达式的运算结果。

因为公式过长，网页编辑公式不便，这里不详细推导，简要提一句：将带符号的项通过次往前移项到后面，再将带符号的通过次往后移项移到后面，就能实现。

至此，相离集合移动自由的这一性质，得到充分论证。

6. 差交变形

证明：

故原命题得证。

令，上述命题就是，似曾相识燕归来。

7. 差并变形：

我们来看看两个差相加的情况，即的情况。

令、

则

（1） 若，原式

特别的，若，则有，前度刘郎今又来。

（2） 若与相离，且相离，原式四. 解题举例2

某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组。已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15和13人，同时参加数学和物理小组的有 6 人，同时参加物理和化学小组的有 4 人，那么同时参加数学和化学小组的共有多少人？

由题意，已知：全班同学总人数；参加数学、物理、化学的人数分别为、、；同时参加数学物理的、同时参加物理和化学，同时参加数理化三科的。未知：一门都未参加的人数为。

求：同时参加数学和化学小组的人数。

1. 解法一：

画韦恩图：

学生参与课外探究小组人员分布韦恩图

由图有：

其中的指人数，下标是指数学，下标是指同时参加数学和物理探究小组。其余类推。

解上式得

当有给定值时，此解法很便捷。

2. 解法二：

设班级全体同学为集合，凡报了数、理、化同学分别构成的集合、和，报数理两门、数化两门和理化两门的学生分别构成集合、和人，报了数理化三门的人构成集合，一门都没报的为。显然上述集合只有与其它集合一定相离。其它非空集合彼此之间相重。

再设只报了一门数学而未报其他课程的的学生构成，只报物理的为、只报化学的为；报了且只报数理两门的学生构成集合为、数化两门的构成集合、理化两门的构成集合。这些集合与、构成了彼此相离的一组集合。解题过程中不再说明。

解题的思路是，以表述该集合的人数（如是指集合的学生人数），依照和集的形式构造代数方程，再联立方程求解。

解：

联立（1）（2）（3）得

同理：

而

联立（4）（5）（6）（7）

又由（4）

由（2）

由（3）

联立（9）（10）（11）

同理：

联立（8）（12）（13）（14）解得

显然，只能取0或1，代入数据，相应的，只能取8或9。

答：同时参加数学和化学这两门课程的同学有8人或者9人。

这道题姜辣蒜用了两种解法。前一种简洁，是目前教学中大家追求的（重技巧而不重思想，深痛之），但其本质上是代数解法，再则集合数目超过4个时，韦恩图无能为力。第二种解法是借助集合运算转化成和集的形式后，再转化为代数方程，虽然求解过程较长，但逻辑更严谨，思路也清晰，求解方法具有普遍性。只是因为网络公式编辑限制了公式长短，进而导致推导表述不简洁，很遗憾。前面采用描述法论证部分性质的时候，表述不规范，也是这个原因。

总之，数学不是数术，如果能悟到这一点，您对数学的理解，算入门了。

五. 小结1. 以为虎、以和为左右翼，利用相离集合和内自由移动的性质，化整为零，集零为整，实现现有集合性质的推导和拓展，体现了该运算体系的可行性、全面性和深入性。2. 运算形式与代数加减运算相似，亲切直观，便于理解，便于知识的传播，尤其便于教学；便于应用。3. 用减法代替补集，解放了集合的上下标，为描述、论证集合问题提供了便利。六. 参考文献1. 《数学分析》第三版上册；陈纪修，於崇华，金路；高等教育出版社；2020年12月4日第4次印刷2. 《高中生“集合知识”学习困难及教学对策研究》，硕士学位论文，p65，寻焕儒，山东师范大学,