冯诺依曼的地位（冯诺伊曼无与伦比的天才）

在所有的天才故事中，冯·诺伊曼可能算是最为精彩的一个。在学术方面，这位出生于匈牙利的犹太科学家有着诸多非凡的贡献。在数学上，对集合论、算子理论、测度论、几何、分析、拓扑等领域做出基础性的贡献，被称为“伟大数学家的最后一个代表”；在物理学方面，他给出了量子力学的现代数学基础；人们所用的计算机源自“冯·诺伊曼结构”，因此他被认为是现代计算机之父；还对爆炸科学、工程领域、经济学做出贡献；参与曼哈顿计划并提出结构设计……而他本身的趣闻轶事更是让人们津津乐道。对于这样一位成就斐然的学者，我们很难用一篇文章甚至一本书来描述，本文仅旨在讲述他一生最重要的一些贡献，以及有趣的故事。全文将分为上、下两篇推送。

撰文 | Jørgen Veisdal （挪威科技大学经济和管理学院工业经济与技术管理系 助理教授）

编译 | 哪吒

“大多数数学家证明了他们能证明的，冯·诺伊曼证明了他想要的。”

“约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann）可能是有史以来最聪明的人”，想要切实反驳这种说法确实是极其困难的。冯·诺伊曼逝世于1957年，享年53岁。这位博学的匈牙利数学家不仅革新了数学与物理的几个分支，而且对纯经济学与统计学做出了基础性贡献，还在原子弹、核能应用和数字计算的发明中发挥了关键作用。

冯·诺伊曼被称为“伟大数学家的最后一位代表”，他的天才甚至在他有生之年都是传奇性的。从获得诺贝尔奖的物理学家到世界一流的数学家，谈论关于他才华的故事和轶事不胜枚举：

“你知道吗，赫伯（译者注：费米的博士生Herb Anderson），Johnny心算的速度是我的十倍。而我的速度是你的十倍，所以你可以看到Johnny多么让人惊叹。”

——恩里科·费米（Enrico Fermi，1938年诺贝尔物理学奖获得者）

“他给人的印象就是一台齿轮啮合被精确加工到千分之一英寸的完美仪器。”

——尤金·维格纳（Eugene Wigner，1963年诺贝尔物理学奖获得者）

“我有时会想，像冯·诺伊曼这样的大脑，是不是表明这个物种比人类更优越。”

——汉斯·贝特（Hans Bethe ，1967年诺贝尔物理学奖获得者）

的确，冯·诺伊曼与20世纪科学界一些最重要的人物一起工作且合作过。他和尤金·维格纳（Eugene Wigner）一起上高中；在苏黎世联邦理工学院（ETH）与赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）合作；在柏林参加过阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）的讲座；在哥廷根大学给大数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）当助手；在普林斯顿与和艾伦·图灵（Alan Turing）、奥斯卡·摩根斯特恩（Oskar Morgenstern）共事，在哥本哈根与尼尔斯·玻尔（Niels Bohr）共事；在洛斯阿拉莫斯与理查德·费曼（Richard Feynman）和罗伯特·奥本海默（J. Robert Oppenheimer）关系密切。

1933年，冯·诺伊曼移民美国。他一生都致力于拓展认知，追求创新，同时也享受生活的乐趣。据他的朋友波兰裔数学家、物理学家斯塔尼斯拉夫·乌拉姆（Stanisław Ulam）说，他结过两次婚，很富有，喜欢昂贵的衣服、烈酒、快车和黄色笑话。冯·诺伊曼去世后，为他撰写传记的作者诺曼·麦克雷（Norman Macrae）回忆道，人们几乎是不由自主地喜欢上了他，即使是那些不同意他保守政治观点的人（Regis, 1992）。

本文旨在突出“约翰尼”冯·诺伊曼的一些令人难以置信的壮举。敬请快乐地阅读!

早年时期（1903-1921）

冯·诺伊曼（Neumann János Lajos，英文为John Louis Neumann）于1903年12月28日降临在匈牙利布达佩斯的一个富有的犹太银行家家庭，不过他们不守犹太教规。冯·诺伊曼的成长经历可以说是十分优越。他的父亲拥有法学博士学位。他在布达佩斯Bajcsy-Zsilinszky街62号坎-海勒（Kann-Heller）办公室顶楼的一套有着18个房间的公寓里长大（Macrae, 1992）。

冯·诺伊曼 7岁时（1910年）

神童

小约翰是个神童。从很小的时候起，就有关于小约翰能力的奇怪故事: 6岁时能心算两个八位数的运算，用古希腊语交谈（Henderson, 2007）；8岁精通微积分（Nasar, 1998）；12岁时能读懂领会博雷尔（Émile Borel）的大作 Méthodes et problèmes de la théorie des fonctions（《函数论的方法和问题》；Leonard, 2010）。传闻冯·诺伊曼拥有超强的记忆力，能够根据要求回忆起整本小说和几页电话簿。这种天赋使他能够积累几乎百科全书式的知识，如伯罗奔尼撒战争（Peloponnesian Wars）的历史、圣女贞德审判和拜占庭历史（Leonard，2010）。普林斯顿的一位教授曾经说过，在他30多岁的时候，约翰尼在拜占庭历史方面的专业知识比他的还多（Blair, 1957）。

冯·诺伊曼11岁时与表妹 Katalin Alcsuti

图片来源：Nicholas Vonneuman摄

诺伊曼兄弟三人，从左至右：Miklós （1911–2011）, Mihály （1907–1989）与 János Lajos （1903–1957）。

“他的非凡能力之一就是绝对的记忆能力。据我所知，冯·诺伊曼在读过一本书或一篇文章后，可以一字不差地引述；而且，他能在多年之后毫不迟疑地做到这一点。他还能以丝毫不减的速度将原文翻译成英文。有一次，我问他《双城记》是怎么开头的，想要测试他的能力。然后，他立即开始背诵第一章，没有任何停顿，直到背了大概十到十五分钟让他停下来才结束。

——摘自诺伊曼Herman Goldstein，The Computer from Pascal to von Neumann（《计算机：从帕斯卡到冯·诺伊曼》，1980）

冯·诺伊曼的父亲马克斯是一位非传统型的家长，据说他会把日常的银行决策带回家，询问孩子们会如何应对特定的投资机会和资产负债风险（Macrae, 1992）。直到1914年，冯·诺伊曼都按照当时匈牙利的习俗在家接受教育。从11岁开始，他进入布达佩斯以德语教学的路德教会学校（Lutheran Gymnasium）。他在这所高中一直读到1921年。著名的是，他和匈牙利另外三个“火星人（The Martians）”的高中时间重叠。（译者注：“火星人”指20世纪上半叶移民美国的杰出匈牙利学者，表示来自小国却智慧非凡。西拉德曾说匈牙利就像火星人的前线。）

• 利奥·西拉德（Leo Szilard），1908-16年就读于在文理中学；物理学家，构想出核链式反应，并在1939年底致信美国总统给罗斯福，也就是著名的爱因斯坦-西拉德信件，促成了曼哈顿计划的形成——最终建造出第一颗原子弹。
• 尤金·维格纳（Eugene Wigner），1913-21年就读于路德教会学校；1963年诺贝尔物理学奖得主，曾致力于曼哈顿计划，特别是对原子核理论、基本粒子理论有重要贡献，提出了量子力学中的维格纳定理。
• 爱德华·泰勒（Edward Teller），1918-26年就读于明塔中学；“氢弹之父”，曼哈顿计划的早期成员，在核物理、分子物理、光化学和表面物理等多个领域有杰出贡献。

他们的年龄和兴趣都相似，但性格并不相同，正如Macrae（1992）所写：

“这四名布达佩斯人虽然有着相似背景却各不相同。他们只是在智识能力上以及职业生涯的性质上彼此相似。维格纳……害羞、极为谦虚、安静。泰勒，在经历了一生成功的争议之后，是一个情绪化的、外向之人，并且不会掩饰自己的光芒。而西拉德则热情奔放，性情乖戾，脾气暴躁，热衷活动。约翰尼……都不是。约翰尼最惯常的动机是，他要努力使下一分钟成为他头脑中任何智力活动中最富有成效的一分钟。

——摘自Norman Macrae，John von Neumann，1992（中译本为《天才的拓荒者——冯·诺伊曼传》，下同）

尽管如此，因为他们都移民到美国并参与了曼哈顿计划，这四个人还是断断续续地合作。

在冯·诺伊曼1921年进入大学时，他已经和他的导师之一米哈伊尔·费科特（Mikhail Fekete）写了一篇关于“关于某种多项式根的位置的Fejér定理的推广”的论文（Ulam, 1958）。据报道，费科特和Laszló Rátz（路德教会学校的老师）注意到了冯·诺伊曼，并开始辅导他大学水平的数学。据乌拉姆说，冯·诺伊曼在18岁的时候就已经被认为是一位成熟的数学家了。对于冯·诺伊曼16岁时写的一篇早期集合论论文，亚伯拉罕·弗伦克尔（Abraham Fraenkel，Zermelo-Fraenkel集合论的创立者之一）后来自己说（Ulam, 1958）：

亚伯拉罕·弗伦克尔写给斯塔尼斯拉夫·乌拉姆的信：

大约在1922-23年，我当时是马尔堡大学的教授，收到柏林的埃哈德·施密特（Erhard Schmidt）教授的信……有一份陌生作者的很长的手稿，署名是冯·诺伊曼，题目是Die Axiomatisierung der Mengerlehre，这是他最终的博士论文，直到1928年才在期刊上发表……我想表达一下我的观点，因为这似乎根本无法理解。我并不认为自己什么都理解，但足以看出这是一部杰出的作品，我可以认出这是“狮子的爪子”。而要回答这些问题，我邀请这位年轻的学者到马尔堡访问，和他一起讨论，并强烈建议他准备一篇非正式的论文来辅以解释这篇技术性很强的文章，强调针对问题的新途径及其基本结果。为此他写了一篇题为Eine Axiomatisierung der Mengerlehre（《门格勒的公理》）的文章，之后我于1925年发表了它。

大学时代（1921-1926）

正如Macrae（1992）所述，约翰尼总有一天会上大学，这是毫无疑问的。约翰尼的父亲起初希望他追随自己的脚步，成为一名收入丰厚的金融家，他担心从事数学职业“财务稳定性”问题。然而，在利波特·费耶尔（Lipót Fejér）和鲁道夫·奥特维（Rudolf Ortvay）等匈牙利数学家的鼓励下，他的父亲最终默许，决定让儿子追求自己的爱好，并资助他出国学习。

约翰尼显然同意他父亲的意见，最初决定从事化学工程（更容易进入产业界）。但由于他对化学一窍不通，学校安排他在柏林大学攻读两年的非学位化学课程。从1921年至1923年，他确实这么学了两年。之后冯·诺伊曼参加并通过了著名的苏黎世联邦理工学院（ETH Zurich）的入学考试。他仍然对数学感兴趣，同时还进入布达佩斯的帕兹马尼·彼得大学（University Pázmány Péter，现为罗兰大学）攻读数学博士学位。他的博士论文是在费耶尔指导下撰写的，研究了康托集合理论的公理化。由于这时他已在柏林开始正式学习化学，他基本上是在另一边缺席的情况下完成博士学位的，只有在每个学期结束时才出现在布达佩斯参加考试。在柏林期间，他与埃哈德·施密特（Erhard Schmidt）在集合理论方面合作，还参加了物理学课程，包括爱因斯坦教授的统计力学。从1923年开始，他在ETH继续他的化学和数学研究。

“显然，一篇博士论文和通过考试并不能算作多大成就。”

——尤金·维格纳（Eugene Wigner）

1920年代的冯·诺伊曼

在数学方面，他首先与德国数学家外尔研究了希尔伯特的一致性理论。冯·诺伊曼最终以化学工程师的身份从ETH毕业，并于1926年以优异成绩从布达佩斯大学获得数学博士学位，年仅24岁。

“一次我在苏黎世给高年级学生开研讨会，冯·诺伊曼也在班上。我提到一个定理，并说它还没有被证明，可能很难。冯·诺伊曼什么也没说，但五分钟后他举起了手。然后我叫了他，他走到黑板前，写下了证明。在那之后，我就害怕冯·诺伊曼了。”

——乔治·波利亚（George Pólya，匈牙利数学家，“火星人”之一）

冯·诺伊曼向国际教育委员会申请奖学金（1926年）

冯·诺伊曼向洛克菲勒资助的国际教育委员会（上图）申请为期六个月的奖学金，以便在哥廷根大学继续他的研究。他在申请中提到，匈牙利语、德语、英语、法语和意大利语是他的口语语言，同时还附有理查德·柯朗（Richard Courant）、外尔和希尔伯特的推荐信。这三位是当时世界上最重要的数学家（Leonard, 2010）。

哥廷根时代（1926-1930）

哥廷根大学的大礼堂, 1935年

1926年秋天，约翰尼来到哥廷根，继续在希尔伯特指导下进行数学研究，希尔伯特是当时世界上最重要的数学家。据Leonard（2010）的说法，冯·诺伊曼最初被希尔伯特在关于所谓的元数学（也被称为形式主义）的辩论中的立场所吸引，这也是促使他跟随希尔伯特学习的原因。特别是，在他的奖学金申请中，他写下了自己的意愿（Leonard，2010）：

“对数学基础和集合的一般理论的研究，特别是希尔伯特的非冲突性理论……，研究旨在澄清集合的一般理论的矛盾性质，从而牢固地建立数学的经典基础。这种研究使人们有可能批判性地解释数学中出现的疑问。”

这非常符合希尔伯特的风格和语言，冯·诺伊曼很可能指的是19世纪80年代康托尔（Georg Cantor）提出的关于无限集合的本质的基本问题。冯·诺伊曼，以及威廉·阿克曼（Wilhelm Ackermann）和保罗·伯奈斯（Paul Bernays）最终成为希尔伯特在阐述1918年提出的“决策问题（Entscheidungsproblem）”时的关键助手。到哥廷根的时候，冯·诺伊曼已经对这个话题很熟悉了，除了博士论文，他已经在ETH发表了两篇相关的论文。

集合论

冯·诺伊曼在20多岁时写了一系列关于集合论和逻辑的论文：

第一篇集合论论文题为“Zur Einführung der transfiniten Zahlen（《论超限数的引入》，1923年）”，将康托尔1897年对序数的定义视为良好有序集的序类型。在本文中，冯·诺伊曼引入了一种新的序数理论，将序数视为前面序数的集合（Van Heijenoort, 1970）。

第二篇集合论论文题为“Eine Axiomatisierung der Mengenlehre （《集合理论的公理化》，1925年）”。这是第一篇介绍了后来被称为von Neumann-Bernays-Gödel集合理论（NBG）的论文，首次引入了以函数和参数的基本概念定义的类的概念。在这篇论文中，冯·诺伊曼站在数学辩论的基础上，反对布劳威尔（L. E. J. Brouwer）和外尔 “牺牲大量数学和集合理论”的意愿，以及逻辑学家“试图在可约性公理上建立数学”。相反，他主张策梅洛（Ernst Zermelo）和弗伦克尔（Abraham Fraenkel）的公理方法，在冯·诺伊曼看来，这种方法用严谨取代了模糊（Leonard, 2010）。

第三篇论文“Az általános halmazelmélet axiomatikus felépitése（《广义集合论的公理结构》，1926年）”，是他的博士论文，其中包含的主要观点将在他的第五篇论文中首次以德语发表。

冯·诺伊曼在第四篇集合论论文“Die Axiomatisierung der Mengenlehre（《集论的公理化》，1928年）”中，正式提出了他自己的公理化系统。它的公理只有一页纸，是当时发展起来的最简洁的集合理论公理，并为后来哥德尔（Kurt Gödel）和博内斯（Paul Berneys）发展起来的系统奠定了基础。

他的关于集合论的第五篇论文“Über die Definition durch transfinite Induktion und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre（《关于超限归纳的定义和一般集合论的相关问题》，1928年）”，证明了超限归纳定义的可能性。也就是说，在此论文中，冯·诺伊曼论证了公理对于消除集合论悖论的重要性，证明了当且仅当一个集合的基数与所有集合的基数不相同时，它才不会导致矛盾，这意味着选择公理（Leonard，2010）。

他在第六篇集合论论文“Über eine Widerspruchsfreiheitsfrage in der axiomatischen Mengenlehre（《关于毋庸置疑的数量问题》，1929年）”中讨论了集合论中的相对一致性问题（Van Heijenoort，1970）。

总结起来，冯·诺伊曼对集合理论的主要贡献是后来的von·Neumann-Bernays-Gödel集合理论（NBG），这是一个公理化的集合理论，被认为是泽梅洛-弗伦克尔集合理论（ZFC）的保守扩展。它引入了类的概念（由一个公式定义的集族，此公式中只取遍集合），并可以定义大于集合的类，例如所有集合的类和所有序数的类。

冯·诺伊曼（19世纪20年代）

冯·诺伊曼1923年的论文。来源：Zur Einführung der transfiniten Zahlen Acta Litterarum ac Scientiarum Regiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, sectio scientiarum mathematicarum, 1, pp. 199–208.

受到康托尔的研究启发，以及策梅洛在1908年的集合论公理化，和弗伦克尔和斯库莱姆（Thoralf A. Skolem）对策梅洛集合论的批判等工作的影响，冯·诺伊曼为策梅洛集合论的一些问题提供了解决方案，导致了策梅洛-弗伦克尔集合理论（ZFC）的最终发展。他帮助解决的问题包括：

• 策梅洛集合论中发展康托序数理论的问题。冯·诺伊曼使用有序的集合重新定义序数，而这些有序的集合运用了所谓的∈-关系。
• 找到一个标准来识别太大而不能作为集合的类的问题。冯·诺伊曼引入了一个准则，即当且仅当一个类可以映射到所有集合的类上时，这个类就太大了而不是集合。
• 策梅洛在他的分离定理中关于"确定命题函数"的概念有些不精确。冯·诺伊曼用他的函数形式化了这个概念，而构造函数只需要有限的公理。
• 策梅洛的空集和无限集的基础问题，迭代配对、并集、幂集、分离和选择的公理来生成新的集合。弗伦克尔引入了一个公理来排除集合。冯·诺伊曼在他的正则性公理中修改了弗伦克尔的陈述，排除了非充分基础的集合。

当然，随着弗伦克尔，斯科莱姆（Thoralf Skolem），希尔伯特和冯·诺伊曼对策梅洛集合理论的批判和进一步的修正，1930年，一位名叫哥德尔的年轻数学家发表了一篇论文，阐述了他的不完备定理。这篇论文有力地终结了冯·诺伊曼对形式集合理论的努力，以及希尔伯特倡导的形式主义纲领。当哥德尔第一次展示它时，冯·诺伊曼恰好在观众席中:

在希尔伯特演讲前的一次数学会议上，一位安静、默默无闻的年轻人，宣布了一项将永远改变数学基础的结果，他叫库尔特·哥德尔，这时他获得博士学位仅仅一年。他用撒谎者悖论“这一陈述是错误的”，以粗略证明，对于数论（Peano算术）的任何有效公理化一致扩展T，都有一个句子σ，在T中是不可证明的。

在场的观众之一，冯·诺伊曼立刻明白了哥德尔不完备性定理的重要性。冯·诺伊曼在会议上报告了希尔伯特证明理论的纲领，并意识到此纲领已经结束了。在接下来的几周里，冯·诺伊曼认识到，通过对哥德尔第一定理的证明进行算术化，可以得到一个更好的结果：没有这样的形式系统能够证明其自身的一致性。几周后，他把他的证明带给了哥德尔，哥德尔感谢他，并礼貌地告诉他，他已经提交了第二个不完备性定理供发表。”

——摘自Copeland等，Computability: Turing, Gödel, Church and Beyond（《可计算性：图灵、哥德尔、丘奇和超越》，2015）

冯·诺伊曼作为哥德尔的终身支持者之一，他后来说：

“哥德尔是绝对不可替代的。自成一等。”

到1927年底，冯·诺伊曼已经发表了12篇重要的数学论文。1927年12月，他获得了独立大学教学资格（Habilitation）。1928年，25岁的他开始在柏林大学以编外讲师（Privatdozent，PD；译者注：指在通过了教授任教资格，可以指导博士但未获教授职位的头衔，且无雇佣关系）的身份讲课，成为柏林大学历史上最年轻的编外讲师。

“到1927年中期，约翰尼这只小鹰显然渴望从希尔伯特的巢中翱翔。约翰尼花了他的本科时间来解释希尔伯特的伟大正确之处，但他早已进入了研究生阶段，不得不解释希尔伯特的错误之处。”

——摘自Norman Macrae，John von Neumann（1992）

博弈论

大约在对集合理论做出贡献的同时，冯·诺伊曼还证明了一个定理，即零和博弈的极大极小定理，这为后来的博弈论这个数学学科的新领域奠定了基础。极小极大定理可以总结为:

极大极小定理提供了极大极小不等式也是一个等式的条件，即每个有限的、零和的二人对策都有最优的混合策略。

这一证明发表在1928年的Zur theororie der Gesellschaftsspiele（《战略博弈理论》）上。后来冯·诺伊曼与经济学家奥斯卡·摩根斯特恩合作，出版了关于这种合作的零和博弈的权威著作《博弈理论与经济行为》（Theory of games and Economic Behavior, 1944）。

冯·诺伊曼1928年的论文

《博弈理论与经济行为》（第一版）

图片来源: Whitmore Rare Books

到1929年底，冯·诺伊曼发表的主要论文数量已经上升到32篇，几乎平均每月发表一篇重要的论文。1929年，他短暂地成为汉堡大学的一名编外讲师，在那里他发现成为一名教授的前景会更好。

量子力学

在冯·诺伊曼晚年提交给美国国家科学院的候选表单中，他将自己在哥廷根（1926年）和柏林（1927-1929年）的量子力学研究列为“最重要的”。“量子力学”这个术语，很大程度上是由哥廷根培养的23岁的天才维尔纳·海森堡（Werner Heisenberg）在前一年提出的，但当时仍然受到激烈的争论。同年，冯·诺伊曼来到哥廷根。当时在瑞士工作的薛定谔（Erwin Schrödinger）拒绝了海森堡的公式，认为它是完全错误的（Macrae, 1992）。故事是这样的：

1926年，约翰尼在哥廷根的最初几周，海森堡就自己的理论与薛定谔的理论之间的区别进行了演讲。上了年纪的数学教授希尔伯特问他的物理助理洛塔尔·诺德海姆（Lothar Nordheim），海森堡这个年轻人到底在说什么。诺德海姆给希尔伯特教授寄了一篇后者仍未看懂的论文。引用诺德海姆自己的话，正如Steve J.Heims（译者注：John von Neumann and Norbert Wiener: From Mathematics to the Technologies of Life and Death一书的作者）在书中所记录的那样：“当冯·诺伊曼看到这些时，他在几天内就把它们变成了优雅的公理形式，这很合希尔伯特的意。”让希尔伯特高兴的是，约翰尼的数学阐述中大量使用了希尔伯特自己提出的希尔伯特空间的概念。

——摘自Norman Macrae，John von Neumann（1992）

从这件事后，在接下来的几年里，冯·诺伊曼发表了一系列论文。这些论文将为量子力学建立严格的数学框架，即现在所说的狄拉克-冯·诺伊曼公理（Dirac-von Neumann axioms）。正如Van Hove（1958）所写：

当冯·诺伊曼开始研究量子力学的形式框架时，这个理论已经有了两个不同的数学表述: 海森堡、玻恩（Max Born）和约当（Pascual Jordan）的“矩阵力学”，以及薛定谔的“波动力学”。这些公式的数学等价性是由薛定谔建立起来的，它们都作为特例被嵌入到狄拉克和约当提出的一般形式中，通常被称为“变换理论（transformation theory）”。

然而，这种形式相当繁琐，它依赖于定义不明确的数学对象，即著名的狄拉克函数及其导数。……（冯·诺伊曼）很快意识到希尔伯特空间及其线性算子的这些抽象、公理化的理论可以提供一个更自然的框架。

——摘自Léon Van Hove, Von Neumann's Contributions to Quantum Theory（《冯·诺伊曼对量子理论的贡献》，1958）

在1927-31年间，冯·诺伊曼发表了五篇关于量子力学的极具影响力的论文:

• Neumann, J. von. "Mathematische Begründung der Quantenmechanik." Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse 1927 （1927）: 1-57.（《量子力学的数学基础》）
• Neumann, J. von. "Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik." Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse 1927 （1927）: 245-272.（《量子力学的概率理论》）
• Neumann, J. von. "Thermodynamik quantenmechanischer Gesamtheiten." Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse 1927 （1927）: 273-291.（《量子力学量的热力学》）
• Neumann, J. von. "Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren." Mathematische Annalen 102 （1930）: 49-131.（《厄米特泛函算子的一般特征值理论》）
• Neumann, J. von. "Die Eindeutigkeit der Schrödingerschen Operatoren." Mathematische Annalen 104 （1931）: 570-578.（《薛定谔算子的唯一性》）

用保罗·哈尔莫斯（Paul Halmos）的话来说，他的基本见解是“希尔伯特空间中向量的几何与量子力学系统状态的结构具有相同的形式属性”（Macrae, 1992），这是海森堡、玻尔或薛定谔都没有的见解。也就是说，冯·诺伊曼意识到量子系统的状态可以用复的希尔伯特空间的点来表示。一般来说，即使对于单个粒子，也可以是无限维度的。在量子力学这种形式的观点中，可观测的量，如位置或动量，被表示为作用于与量子系统相关的希尔伯特空间的线性算子（Macrae, 1992）。例如，在冯·诺伊曼的系统中，不确定性原理被转化为两个对应算子的非交换性。

综上所述，冯·诺伊曼对量子力学的贡献大致可以概括为两方面：

量子理论的数学框架：其中物理系统的状态由希尔伯特空间向量和作用于它们的无界厄米特算符的可测量（如位置、动量和能量）描述；

量子理论的统计方面：在用希尔伯特空间中的向量和算子来表述量子力学的过程中，冯·诺伊曼还给出了如何从统计学上理解该理论的基本规则（Van Hove, 1958）。也就是说，在一个给定量子态的系统上测量一个特定物理量的结果，其概率分布应该用表示状态的向量和表示物理量的算子的谱分解来表示。

冯·诺伊曼《量子力学的数学基础》第一版（Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik，1932）

他在量子力学方面的工作最终被收录在1932年出版的《量子力学的数学基础》（Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik，编者注：相关内容参见《量子世纪的创世余晖——读冯·诺依曼<量子力学的数学基础>》）一书中，这本书被认为是量子力学的第一个严格而完整的数学表述，极具影响力。

量子力学的确非常幸运，在1925年被发现后的最初几年，就吸引了像冯·诺伊曼这样的数学天才的兴趣。结果，该理论的数学框架得到了发展，其全新的解释规则的正式形式被一个人在两年的时间里（1927-1929）就分析了出来。

——Van Hove （1958）

算子理论

在集合论和量子力学方面的工作之后，冯·诺伊曼还身在柏林，此时他将注意力转向了代数，特别是关于函数空间上的线性算子理论。最常见的例子是微积分中的微分和积分算子。他发明了后来所谓的冯·诺伊曼代数，引入了算子环的研究:

冯·诺伊曼代数的定义：

von Neumann代数是由希尔伯特空间上有界算子构成的*-代数，它在弱算子拓扑下是封闭的，且包含恒等算子。

这项工作最终发表在1930年的《数学年刊》（Mathematische Annalen）上，题目是“Zur Algebra der Funktionaloperationen und Theorie der normalen Operatoren（《关于泛函运算的代数和正规算子的理论》）”。

（未完待续）

本文译自Jørgen Veisdal，The Unparalleled Genius of John von Neumann

https://www.cantorsparadise.com/the-unparalleled-genius-of-john-von-neumann-791bb9f42a2d

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