近似数怎样看精确到多少位（近似计算为什么中间结果要多保留一位）

确切地讲，不超过10个10进制数进行加减法运算，中间结果应比指定位要求的精度再精确一位。

这样做的目的是，合理控制误差。

在作为数学课程的数值分析里，有有效数字和可靠数字的概念。（在中学数学、物理学及其它学科里也常见有效数字的概念，有的人的理解可能跟这里的不太一样，不过重要的是对误差的控制。）

绝对误差是近似值与真值的差。

相对误差是绝对误差除以真值。

可靠数字指的是，绝对误差不超过该位的一个单位。

有效数字指的是，绝对误差不超过该位的半个单位。

比如，3.24，如果直到百分位的4都是可靠数字，那么误差不超过0.01，也就是真值为3.23-3.25之间。

如果直到百分位的4都是有效数字，那么误差不超过0.005，也就是真值为3.235-3.245之间。

做近似运算的时候，我们拿到的是近似值，可以推测出真值的区间，借此推出最终结果的区间，得到合理的近似值。

比如说我们要算3.24 4.35，假设直到百分位都是有效数字。

3.24代表的数为3.235-3.245之间。

4.35代表的数为4.345-4.355之间。

所以结果是7.580-7.590之间。

最坏的结果是同向误差叠加，变成0.005的两倍。

那么，显然，n个这样的数字，最坏的情况下，误差是n倍。那么10个数相加减，最坏的情况下就是误差放大十倍，也就是损失1位有效数字。

如果从一开始多取一位，就能保证结果除了多取的那一位全是有效的。

把上面的有效数字全部换成可靠数字，结果也是一样的。

（一般不会可靠数字跟有效数字混合用，如果已知数据是混合的，应当一律以真值的区间分析为准。以下我们都默认按有效数字来。）

从这个分析中，我们不难看出，如果是100个数相加减，那多一位是不够的，得多两位。

可以进一步得出，k进制下，不超过k^q个数相加减，应当比指定位要求的精度多保留k位数字。

这里还要注意一个问题，如果不是指定的具体位（精确到千位/百分位），而是结果具有几位有效数字。如果算加减法，那必须先分析结果大概有多大，把对应的具体位找出来才能近似。

比如，计算3.1415926549823-3.1415926535894，两个相近的数相减，答案非常小，相对误差会难以控制，你不能说答案要两位有效数字我直接先把每个都先近似成三位的，那是不行的。必须先判断结果的最高位在亿分位上，可以近似到百亿分位计算。

不过，如果是乘法，在误差都很小的时候，从而它们的平方更小以致可以忽略时，可以认为相对误差近似叠加，两个n位精度的数相乘，答案只要两位我可以把每个都近似成三位再算。（但很多很多个近似数相乘的时候，省略的平方项可能会有影响）

除法按乘以倒数来处理。

除以0.2，应该是除以0.15到0.25之间的数，也就是乘以4到6.666667之间的数。

可见，取倒数会让误差有复杂的变化。

对于其它情况呢？比如三角函数。

由于|sin(x)-sin(y)|<=|x-y|，正弦余弦是不会放大误差的，有效数字已知几位算下来还是几位，不会少。

而tan函数没有这样的性质，应当按区间分析重新讨论。如果你要算的数在pi/2附近，函数穿越无穷大，那么必须非常高的精确度，否则当真值可能的区间覆盖了pi/2时，你只能得到一个绝对值的下界估计。