蝴蝶定理及五大模型（蝴蝶定理之七）

2014年暑假，作者看到如下题目：

01

如图，△ABC中，D为AB上动点，D在AC、AB上射影为E、F；

求△ECF的垂心H的轨迹[1]

(1965年第七届IMO第五题)

思路分析：轨迹问题一般都是先找特殊点，通过特例猜测出结果，然后再给出证明。

显然当D与A重合时，H为A在BC上的射影I，同理当D与B重合时，H为B在AC上的射影J，且一般情况下，HIJ共线，故猜测H轨迹为线段IJ；

解答：H的轨迹为△ABC两条高线AI、BJ垂足I、J所在直线；

证明：

设EG⊥BC交IJ于H',

则由EG//AI及DE//BJ及DF//AI得

JH'：H'I=JE：EA=BD：DA=BF：FI，

则FH'//BJ,

故FH'⊥CA,即H与H'重合，

即△ECF的垂心H的轨迹为IJ；

进一步我们容易得到，当D在线段AB上运动时，H轨迹为线段IJ，

当D在直线AB上运动时，H轨迹为直线IJ。

本题很经典，结论漂亮，证明也不难，是一个难得的好题。

做完一个好题，显然不能就此罢休，入宝山岂能空手回？

第一个问题自然是此题的本质是什么？和哪些经典结论有关呢？

显然AEDF共圆且此圆直径为AD，则此圆和AB另一个交点P为△ABC第三条高线的垂足，由垂心组的性质我发现其本质为斯坦纳（Steiner）定理[2]，而且这给出观察斯坦纳定理的新角度，从而可以给出此定理的新的证明，下面给出详细说明。

02

（Steiner定理）P为△ABC外接圆上任一点，H为△ABC垂心。

则P关于三边的对称点共线且H在此直线上。

证明：由西姆松定理及中位线定理知P关于三边的对称点共线，

下面证明H在此直线上；

先证明一个引理：

△ABC中AD、BE、CF为三高线，则D关于AB、AC的对称点在EF上，

这是因为由垂直得四点共圆，

从而∠1=∠2=∠3=∠4，

则D关于AC对称点在EF上，

同理可证其余，

即D关于AB、AC的对称点在EF上；

下面证明本定理，设P关于AB、AC对称点为P'、P'，

AG为圆直径，PG与AB、AC交于E、F，

EI⊥AF，FJ⊥AE，BD⊥AC,BD交IJ于H；

则由1知H为△ABC垂心，

由引理知P'P''即为IJ，

从而知P'P''H共线，

综上P关于三边的对称点共线且H在此直线上。

注：斯坦纳定理是一个漂亮而重要的结论，竞赛中也经常出现。据本人所知，几何大家开世（Casey）、矢野健太郎、老封（叶中豪）等都从不同角度给出过精彩纷呈的证明。上述解答应该是一个新的证明，不过如果不知道此解答的来龙去脉会感觉证明有些突兀。当然本人还得到几个其他的证明，对此有兴趣的读者可以参阅文[2]、[3]等.

进一步，此图形中当D运动时，有很多运动的三角形。解决了此问题，我想趁热打铁，研究一下其他的三角形的垂心，然后我开始研究。

03

如上图，求当D在BC上运动时，△DEF的垂心H’的轨迹

思路分析：通过几何画板，我发现H’轨迹也是一条直线，如何确定此直线呢？

当然还是如法炮制，类似于1，取两个特殊情况，

即垂足E、F分别和顶点C重合时，垂心分别退化为AC、BC上点P、Q，

故垂心轨迹为PQ。

这个类似于1的证明几乎是显然的；

证明：作EH//CQ,H在PQ上，

则QH:HP=CE:EP=OD:DM=QF:FC

故FH//CP,即H为△DEF垂心，

即H在PQ上。

当然把图形补成平行四边形比较“和谐”，由这个就可以一个新编的简单题:

04

平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CDP为BD上任意一点，PM⊥AE，PN⊥AF

求证：△PMN垂心H在EF上

这个题目难度比较低，就是利用平行线倒个比例即可得到。我继续思考如何增加难度，把此题目复杂化？

根据图形中的平行四边形，我灵机一动，想到了切割线蝴蝶定理，则EF与BD交点即为△AEF外接圆切线，且BD过此圆圆心。这样就把第4题完美的嵌套入到切割线蝴蝶定理中，得到一个比较漂亮的新的题目：

05

已知：如上图，△ABC外接圆为圆O，过A的圆O的切线交BC于D，P为直线OD上任意一点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N。

求证：△PMN垂心H在BC上。

思路分析：照猫画虎，把平行四边形补出来，结合切割线蝴蝶定理即可证明。

证明：设L为BC中点，AI为直径，IB、IC交OD于J、K，

依题意AOLD共圆，则∠AOD=∠ALD，

又∠ABL=∠KIO,△ABL∼△KIO,

∴△ABC∼△KIA,

∴∠KAI=∠ACB=∠AIB，

∴AK//IB,同理AJ//IC；

∴AM:AB=KP:KJ=CN:CA,

显然AMHN为平行四边形，AM=HN，

∴HN:AB=CN:CA,

∴H在BC上；

注：对切割线蝴蝶定理熟悉的读者不难发现上述证明实乃老生常谈，此题我让不少高手学生思考过，学生做的结果并不理想，几乎没有学生能想到上述思路。而事实上，我把这个题目发在“我们爱几何”微信群以后，很多高手如曹珏赟、黄利兵、顾冬华等都贡献了很多想法，也得到很多推广和新的题目，这里就先不再赘述，有兴趣的读者可以自行探讨。不过迄今为止，我还没有发现有人是按我的上述思路解决此题的。

这个证明我不是很满意，因为这个证明虽然对我来说很自然，但是总归很别扭，不够自然。所以我希望能有一个“正常”的解法，后来想到切割线和极线的联系，终于得到了一个，如下：

证明二：作AT⊥DO于T,

则DA^2=DC*DB=DT*DO,

则BOTC共圆，则∠DTC=∠OBC=∠OCB=∠OTB,

故∠ATB=∠ATC,

又OB^2=OA^2=OT*OD,故∠OBT=∠TDC,

则△OTB∼△CTD；

故TB*TC=TO*TD=AT^2,

故△ATB∼△CTA;

又AMTN共圆，则∠BMT=∠ANT,

∴AM:AB=CN:CA,

显然AMHN为平行四边形，AM=HN

∴HN:AB=CN:CA,∴H在BC上

当然如果联系到2中斯坦纳定理，要证明垂心在某条直线上的题目往往和斯坦纳定理有关。则此问题也可以利用斯坦纳定理得到一个证明：

证法三：作PT⊥AD于T，TT'//AB,其中T’在BC上，

则PT:AO=DP:DO=DT:DA=DT':DB=PT':OB，

故PT=PT'，即T关于PM对称点在BC上，

同理可证T关于PN对称点在BC上，

又PNTM共圆，由斯坦纳定理知H在BC上。

本文原汁原味的回顾了本人利用切割线蝴蝶定理，命制一道题目（第5题）的真实过程，展示了此题的来龙去脉，虽然其本质就是切割线蝴蝶定理，但是经过精美的包装以后几乎很难看出其庐山真面目了。

当然后面又从极线角度得到比较自然的证明2，如果对斯坦纳定理熟悉也可以利用它迅速得到证明。这里又一次体现了：真理是一个多面体，从每一个角度都能看到相应的美景。

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