纳皮尔和对数（转载纳皮尔拯救了无数人的性命）

自序

数学与人同在。

这是我所著的高中数学教科书《数学的应用》(启林馆出版)中的基本理念。在学校教科书中被省略的也即是“数学是故事”这一点。数学是历经2000多个春秋编织而成的壮丽诗篇。

我们生存在奔流不止的时间长河中，肉眼看不见的时间在我们的身体中，在整个自然中流逝着。时间是由我们的记忆与群星的流转构筑而成的。

人类在学会通过观察群星的运转来确认时间之前，经历了漫长的岁月。由此也创造出了“天文学”这门学问，并对研究空间与时间学系——物理学也产生了深远的影响。

数学是故事。但在教科书上，我们并没有把数学当作故事来讲。教科书中的所有内容都是很唐突的。在小学里学习的“算术”，到了中学突然就变成了“数学”。方程、三角函数、指数、对数、微积分接连登场，这些知识就像是毫无预兆的狂风暴雨一般向我们袭来。我们在突如其来的暴风雨中饱受摧残，一波未平一波又起，数学带来的疾风骤雨，将会毫不停歇、接二连三地袭来。

我们无从知晓数学这场风暴会在何时结束。如果鼓起全部勇气问数学老师“数学是为了什么而存在的呢?” “为什么一定要学数学呢?”的话，恐怕老师又会就着“为了考试”而大说特说，不由分说地教训你一番。

而大家“讨厌数学”的根本原因，难道不是因为“讨厌老师教数学的方法”吗?

数学是人类倾注心血凝结而成的智慧结晶，是最宝贵的知识财富。数学有着辉煌的过去，正在经历当下，并向未来进发。古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》，可以说是数学史诗的开端。

我在研究数学时，有时会突然这样想：这篇史诗，究竟有多少页呢?

假如想要将《几何原本》迄今两千多年所有的数学典籍、论文编辑成一套书，为了收藏这部书，我们又该建一个多么庞大的图书馆呢?

数学这篇壮丽的史诗中，记载着人类是如何通过知识的传承，将“无穷” “永远”这些某个人类绝对无法掌握的至宝悉数掌握的。如此有趣的故事，却被教科书讲述得无聊至极，这实在是令人感到万分遗憾。

本书是关于我选出的数学家、物理学家们的故事。它其实更是一本对将我领入科普写作事业的全明星阵容的介绍。纳皮尔、爱因斯坦、仁科芳雄、拉马努金……他们的人生和伟绩，曾经深深地触动了我的心灵。

数学这个故事，在此时此刻也正在产生新的发现，正在被数学家们翻开新的一页。

数学，是一个“ Never Ending Story(没有结尾的故事)”。

纳皮尔：拯救了无数人的性命——关于对数的史诗对数背后隐含的感人故事

约翰·纳皮尔(1550-1617)

发现了对数，发明了“纳皮尔的骨头(一种用于简化计算的工具)”，也是如今人们使用的小数点记号的发明者。

我上高二的时候，在课上学习了对数。课上，老师告诉我们“2³=8”可以变形为“3=log₂8”，但我却并不明白这是为什么。我十分奇怪“这么麻烦的计算到底有什么意义啊?”

就是在那时，我从一本介绍数学家的书上认识了纳皮尔。书上记录的事实真相，不仅解开了我的困惑，更令我万分震惊。

“对数的发明，是为了让天文学的计算更加简便，同时也是为了帮助在航行中备受折磨的船员们。”

我记得书中是这样说的：数学，是一门能够拯救人的生命的学系……在那之后，纳皮尔就一直活在我的心中。

数学很容易被人误会成一门“没有人情味的、冰冷的，只存在于数字世界的学问”。但它实际上是一门动人心弦的、充满激情的学系。

数学并不仅仅追求实用性。数学家们与金钱、地位无缘，仅仅是为了追求真理而踏入数学的世界。而他们的追求，在结果上却造福了无数的世人。

比如说，法国数学家皮埃尔·德·费马提出的“费马大定理”，这是一个关于整数的著名定理。经过大约三百六十年的岁月，费马大定理终于在1994年被英国数学家安德鲁·怀尔斯(1953~)所证明。而在人们摸索证明的过程中诞生的数学发现，被应用于密码技术之中，而密码技术正是互联网技术不可或缺的一部分。如果没有密码技术，互联网想必不会如此发达。所有信息都暴露在光天化日之下的通讯方式，是派不上任何用场的。

就像这样，数学从结果上来讲能够为人类提供帮助，有时甚至还能拯救人的生命。对数，就是这样一个绝佳的例子。

对数长期以来在数学界应用率颇高。我们之所以能够受益于科技发展，建立起极为发达的文明社会，也是托了对数的福。如果没有对数，日本是无法建立起如此先进的工业国家的。

很少有人知道，纳皮尔曾经冒着生命危险追求对数的真理。其实，有很多日本人一听到“对数”两个字就头皮发麻。光是看到“log”的符号，恐怕就会有人表示“我就是因为你才讨厌数学的”。

但是，对数可以说是一个爱的结晶。在对数被发现的背后，隐藏着一个男人的伟大史诗。在本章，我将要介绍一个伟男子，他为了拯救世人的生命，独自一人勇闯黑暗的数学世界。

故事，发生在16世纪的苏格兰。

约翰·纳皮尔于1550年诞生于这个世上，他生于苏格兰首都爱丁堡西南方的梅奇斯顿城内。他生来就是要成为梅奇斯顿城的第八代领主的人。

随着年龄的增长，纳皮尔开始展现出非凡的才华。他13岁时已经进入大学学习宗教学。身为城主之子，他还统领起当地的居民，用充满个人色彩的奇思妙想解决了各种各样的难题。

譬如，有农民希望“让土地增收”，纳皮尔就采用新型肥料，还发明了抽水机，在农业、土木工程的技术开发方面也有所建树。

有一次，纳皮尔听农民反映“有来路不明的怪物啃坏了农田”，就发明了一种大炮，能够将周长4英里(约为6.4千米)的田地中体型超过1英尺的生物全部消灭。

在煤矿工作的矿工反映“矿里涌出了地下水，我们没法继续工作”，纳皮尔就发明了能够将矿坑内的积水排出，控制矿坑内水位高度的螺旋推进器。早在16世纪，他就发明了能在水中转动螺旋翼的技术！

用现在的话来说，纳皮尔算是一个发明家。不仅如此，他还是一名为了帮助他人而施展才华的优秀工程师。

纳皮尔还开发了包括潜水艇、战车在内的许多武器，这些想来也是为了让领地内的人民感到安全放心而发明的。

那时的欧洲，处于一个战乱的年代。苏格兰人民十分畏惧当时全欧洲最强的国家——西班牙，会从海上侵略自己。

向神秘莫测的计算世界进发

当时的欧洲正处于战乱年代，同时也正处于大航海时代的高潮。欧洲资源贫瘠，想要发展，只能前往新的大陆寻找资源。西班牙等列强利用当时最先进的技术，建造了大型船舰，竞相在世界各大洋中开辟新航路，争夺霸权。

各个大国想要寻找的是印度。当年，印度拥有许多欧洲人喜爱的产品作物。哥伦布受命于西班牙女王，出海远行，最终能够发现美洲大陆，也是因为想要从西方开辟一条通往印度的航路。纳皮尔想必也经常听人提及航海的话题吧。

在当时的背景下，航海天文历和海难也是各个天文台最热门的话题。所谓“航海天文历”，指的是预测天体运行的历法。在当今社会每年也都会发行新版，但在过去那个没有计算器的年代，需要大量运算作支撑的航海天文历是很不精准的。

因为航海天文历准确性过低，出海远航的船员们往往会束手无策。他们需要观测出准确的时间及天体位置，并同航海天文历进行对照，从而得出自己当前所处的大概位置。如果航海天文历不准确，他们就会判断失误，驶向错误的方向。这在当时就意味着必将遇难，也就是死亡。

请你闭上眼睛，简单想象一下。

现在，你行驶在一片漆黑的太平洋的正中央，原本十天之前就应该抵达目的地了，然而一天又一天过去，你却一直看不到陆地的影子。

这天晚上，你幸运地看到了星星。

你拿出了六分仪(用来测量角度的仪器)，把星星的位置翻来覆去地测量了好几遍，又看了看表，记录了现在的时间。没有问题。于是你把这些数据拿去和航海天文历一一对照，为了避免出错，你还多算了几次。

然而，尽管你是如此的谨慎细致，到了第二天早上，你还是没有看到本应早就抵达的陆地。你能看见的，只有远方无尽的海平面……就这样，你在漫无尽头的汪洋中漂泊着，最终，船员们也一个接一个地葬身鱼腹。

在发明对数之前，皮尔一直在研究“球面三角学”。

在类似于地球这样的球体表面出现的三角形被称为球面三角形。球面上连接两点的最短曲线被看作是直线。由这样的直线形成的三角形就是球面三角形。研究其“边长”“角度”关系的学系就是球面三角学。

在大航海时代想要远洋航海，就需要计算出发地和目的地之间的距离，也就是说需要计算所谓的球面弧长。

纳皮尔在研究过程中，建立了“纳皮尔比拟式”和纳皮尔圆部法则”。

球面三角学的计算中，会出现天文学的相关计算。第10页的图片是一个题例，由地球上两地间的经纬度来计算两地间的距离。而大家都很熟悉正弦(sin)函数、余弦(cos)函数等的三角函数，它们彼此间的相乘运算是非常复杂的。

天文学家们需要准确的航海天文历。然而，编写天体运行历法的每一个过程，都需要计算。想要预测天体的运动，就必须要计算真正意义上的“天文级数字”。而且每年都必须重新计算一次。

天文学家们纷纷哀号：“这是不可能完成的任务！”

当纳皮尔发现天文学家面对庞大的计算量袖手旁观时，肯定非常义愤填膺吧，他一定会觉得“难道真的没有办法了吗?” 同时，他恐怕还想象过命丧汪洋的船员们的痛苦挣扎，因而感到万分焦虑吧。

最后，他终于选择挺身而出。

“好，那就由我来让航海天文历的计算变得更简单。”

这时，纳皮尔已经44岁了。400年以前,44岁已经算是步入人生的晚年了。他在这个随时都有可能离开人世的年纪，选择踏上前往神秘计算世界的旅途，并且还是孤身一人。仅这一点，已经足够震撼人心了。

使用对数，能够将乘法运算转换为加法运算

在此，我将对对数进行简单的说明。所谓对数，是运算上的一种转换系统，是能够把乘法运算转换为加法运算，将除法运算转换为减法运算的方法。

举一个简单的例子。

“1000×100”的结果在草稿纸上就能算出来，同时，我们也可以通过将“1000”和“100”的“0”相加，得出答案为“100000”。

也就是说，把“1000”看作是“10”的三次方，把“100”看作是“10”的平方，将三次方和平方的3与2相加即可得出答案。

纳皮尔注意到了这一数字的法则，总结出了对数的概念。

在此，希望大家注意的，是“乘法运算转变为加法运算”这一点。计算“1000×100”的话，使用乘法运算确实会更快，但如果数字位数较大、需要手动计算时，使用加法运算明显会更加简单。

如果，按照将100看作2、将1000看作3的思路，将各种数字转换为其他数字，并制作出一览表的话，就能够将乘法运算转换为加法运算，使得计算变得更为简单。

纳皮尔想要做的，简单而言，就是制作出能够将乘法运算转换为加法运算的机制(算法)。

看到这里，也许有读者会想“这不就是指数运算的法则吗?”

即是说，按照指数运算的法则“aⁿ×aᵐ=aⁿ⁺ᵐ”来思考的话，1000×100=10³×10²=10³⁺²=10⁵=100000。如此，则可导出正解。

然而，在纳皮尔时代并没有指数(书写在数字右上角的小数字)这样一种书写方式，指数的概念也很不明确。

纳皮尔的伟大之处也正在于此。纳皮尔在没有指数这一概念的情况下发现了对数，并将其归纳为一个体系。

如今在日本，对数是高中的数学课上学习的知识。翻开课本，对数是在学习指数之后才会学习的知识点。例如，在y=aˣ当中x=logₐy 。

“3=log₂8”这一对数表达的含义为“以2为底，8的对数为3”。

◆幂运算法则与对数

幂运算法则：

a>0、x、y 为实数时，

aˣ · aʸ=aˣ⁺ʸ、(aˣ)ʸ=aˣʸ 成立

若y=aˣ，则x=logₐy

ˣ是指数，ₐ是底数，y是真数。

其中，8被称为“真数”。较为常见的是，以10为底的对数。这种对数被称为“常用对数”，如今在高中数学教科书上也有体现。

学习指数，并在了解指数的运算法则之后学习对数，是一种科学的学习方法。

纳皮尔的过人之处就在于，他在指数、函数的概念尚未明确的时代，就发现了对数。

我不禁为此感到震撼。恐怕，对数学稍加深入了解的人，都会对此感到惊讶不己吧。

为什么他能够在不了解指数概念的情况下就发现了对数呢?

对数将天文学家的寿命延长了一倍

接下来，我将对如何运用对数使乘法运算转变为加法运算进行说明。因为运用当代数学的知识会让说明更加易于理解，我将使用指数来进行说明。

使用以2为底的对数，来把8×16这一简单的运算转变为加法运算吧。

首先，在对数表中找到真数“8”和“16”的对数。

那么，我们就能找到“3=log₂8”、“4=log₂16”。将对数“3”和“4”相加。3 4=7。

接下来，在对数表中找到对数为“7”的对数公式。可以找到“7=1og₂128”。如此一来，这一真数“128”即为8×16的解。这一结果和实际计算出来的结果也是一致的。

对数表，可以说是纸质的计算机。纳皮尔制作了到8 位数位置的对数表，为大幅度提升编纂航海天文历必需的计算速度开辟了道路。

“多亏了对数，天文学家的寿命被延长了一倍。”

(远山启著《数学入门(下)》)

对数正是足以获得如此赞誉的伟大创举。

将人生的三分之一花费在计算上的男人

请看后文的对数表。这是纳皮尔二十年来汗水与泪水的结晶。

让我们来检验一下纳皮尔对数表的准确性吧。

◆使用对数可以将乘法运算转变为加法运算

1=|og₂2

2=l0g₂4

3=l0g₂8

4=log₂16

5=|og₂32

6=|og₂64

7=log₂128

8=log₂256

9=log₂512

10=log₂1024

总共有七位是一致的。

想要得出这个八位数的数字，需要进行十三位数字的计算。纳皮尔花费了自己人生三分之一的岁月，也就是二十年的光阴来进行计算，其原因也在于此。

二十年，这实在是令我难以置信。更何况，成功做到这一点的纳皮尔并非数学家，更非天文学家。

驱使纳皮尔做到这一步的原动力，究竟是什么呢?

书名中“奇妙的”一词之含义

在数学的世界里，并没有专利一说。数学、物理学等研究自然规律的学系不允许申请专利，这是由国际公认的规则所决定的。因为各种法则、定理是为“发现”，而非“发明”，而专利则是针对“发明”所设立的。

如果真的有创造数学公式的人(发明者)存在的话，那应当是“数学女神”吧。而人们所做的正如矿工在山中发现钻石时高呼“原来在这里！”一般，是一种“发现”。

正因如此，数学是独立于金钱世界之外的存在。财富、地位、名誉都与数学家无缘，他们就是在这种情况下不断对数学难题发起挑战。

纳皮尔应当也具有这种精神。与对财富、地位的追求不同，一定是另有动机，驱使着他在二十年的孤独中不断地进行计算。

恐怕，是“我无法继续忍受对船员们的性命漠不关心了”这种义愤填膺之情，一直在支撑着纳皮尔。

或者，可以称之为“如果不能尽早发现对数的法则，就会有更多的生命被夺走”的使命感……纳皮尔呕心沥血地计算，甚至背负起了历史般的宿命。

人们可能会误以为研究数学这门学系，不过是平淡地思考难解的问题而已。但为数学而激情澎湃的数学家、科学家们却是充满着极大热情的。数学从来都是充满爱的一门学问，这一点还请诸位读者们了解。

在了解了纳皮尔发现对数的故事，以及他为了制作八位数的对数表而进行高达十三位数的运算这两个事实之后，我感到了一种难以言表的感动。

并非为了财富，也非为了地位，纳皮尔日复一日地进行着天文数字级的计算。他经过二十年的庞大计算，于1614年出版了 Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (拉丁语版，英译版名为 Description of the Wonderful Canon of Logarithms，于1616年出版)。将书名直译过来，就意为“奇妙的对数法的描述”。

请看啊。尽管这是一本数学专著，却使用了“奇妙的”一词，让我们深刻感受到了纳皮尔的心情。他在对数当中看到了“奇妙”。

这是能够拯救生命的“奇妙”，也是得以触及数学女神时充满喜悦的“奇妙”。

书名中还出现了“ Logarithms”一词，它在英语中是对数的意思。这是纳皮尔发明的一个词汇。

这个词是来自希腊语的 Logos⁽¹⁾(支配宇宙的法则，神的语言)与Arithmos(数)的合成词。因此，Logarithms应当译为“作为神之语言的数字”。

我曾经有幸见过原版 Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio的初版。它静静地躺在京都大学理学院数学系的书库里(因京都大学理学院上野健尔教授的好意得以一)见。

1614年初版的封面让我觉得很有意思。作者名的旁边写着“ Autherac Inventore”。翻译过来就是“作者以及发明者”的意思。看来纳皮尔并不认为对数是一种数学上的“发现”，而是把它当作在计算上一种新“发明”的技术。

纳皮尔在二十年的计算生涯中，将对数的本质从数学的世界中抽离出来，由此发明了划时代的计算系统。他

⁽¹⁾中文常译为“逻各斯”。logos也有比例、比率的意思。我国最早的介绍对数的书即名为《比例对数表》(1635年，穆尼阁、薛风祚合编)。( 译者注)

发明了一种应当被称为是“纸质计算机”的崭新的计算方法——“对数”。

前文提到过，与其说纳皮尔是一位学者，不如说他是一名工程师。因此，他定然是激昂地讴歌过这一“发明”。非要解释原因的话，正因为他并非天文学家，才能够发现对数。

正面迎击“无穷”的纳皮尔

可以说，纳皮尔曾经一脚踏入了函数的世界。

在纳皮尔对对数的定义中，包含了运动的概念。他将数看作是数轴上的点。运动的本质在于其连续性，而在数学上，则对应为数与实数之间的连续性。

纳皮尔的对数，他以分为单位，对每个数都赋予正弦(sin)，接下来赋予这个正弦一个对数。在进行这一对数的计算之时，他对数字的连续性——也就是无穷性也产生了思考。也就是说，他对无理数产生了思考。

例如像√2=1.414……这样，在小数点后有无穷个不循环数字的数被称作无理数。想要写出无理数，使用小数点是极为便利的。但是，在小数点尚未普及的那个年代，纳皮尔只考虑了从1到10,000,000间的自然数。

（未完待续）

书摘信息：

有趣得让人睡不着的数学

作者：【日本】樱井进

译者：刘子璨

北京时代华文书局

2020年6月第六次印刷

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。

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