一张纸怎么折能折出一个正方形（1的纸折出正七边形）

这事还得从欧几里得开始说起。

闲暇时候，一次偶然的机会让我接触到了折纸几何（Origamics）这块新奇的数学领域，学习之余不禁感叹，原来真的有人把折纸这件事研究到了骨子里。如果把欧式几何的奠基之作《几何原本》比做是几何学的一处根基，那么折纸几何学就是这棵树上开出的一朵奇葩。

Ornamental Omega | Credit: Meenakshi Mukerji

就像传统几何学对应了尺规作图(ruler and compass construction)一样，折纸几何学引导我们找到了另一种基础作图的方法——折纸作图。

和它的名字一样，我们的工具就是一张白纸，大多时候是一张1×1的白纸，除此之外再无其它。与尺规作图比起来，折纸作图好像更加极致，干脆把尺子和圆规都扔了，甚至连笔也不给你，只留下一张白纸，你竟然还指望我作什么图出来？

然而正是这种“比原始更原始”的办法，解决了尺规作图也搞不定的数学问题。

Truncated Icosahedron | Credit: ServeSmasher

三大难题

众所周知，传统的尺规作图并不是万能的。在《初等几何的著名问题》一书中，数学家F.Klein就详细讲述了初等几何的三大难题：

1. 倍立方问题。又叫Delian 问题，是一个非常古老的几何问题。它说的是：如何准确作出一个体积为2的立方体。其实就是要找到长度x，让

即

但是，要找到，仅凭尺规作图是不可能完成的。你也许会想，是不是我们还不够聪明，没有找到作图的办法呢？并不是这样，实际上数学家早就已经严格证明了这种不可能性，这个任务是从理论层面上就不可能完成的。

体积为1的正方体，和体积为2的正方体

我们发现，要准确地作出这个数，我们需要一个可以移动的直角刻度尺，这种用直角尺作图的方法叫做二刻尺作图（Neusis construction）。再看看我们的主题，思考一下。是的！我们手上这张1×1的白纸，就正好就有这样一个直角。用折纸的方法，我们可以轻易得到两条线段，让它们的比值正好等于。

取1×1的白纸，横向三等分，折叠让Q点落在边L上，P点落在折痕K上，这时x/y= | Credit：Mathematical Origami by Philipp Legner

2. 三等分角问题。顾名思义，它说的是：如何准确地把一个任意角度三等分。

同样地，传统尺规作图又一次败下阵来，但是用一张1×1的白纸，你却可以简单地得到一条过角顶点的射线，它对应的就是原始角度的三分之一。

对角度α，取1×1的白纸，横向四等分，折叠让P点落在折痕K上，Q点落在L上。这时，延长折痕K得到射线M，M与L形成的角度是α的1/3 | Credit：Mathematical Origami by Philipp Legner

3. 最后一个难题是化圆为方问题，它说的是：作出一个正方形，它的面积等于给定的圆的面积。

这个问题同样困扰了全世界上千年，当人们还在为它的可行性争论不休的时候，1882年，德国数学家林德曼（Lindemann 1852~1939）证明了圆周率 π 的超越性（不满足任何整系数(有理系数)多项式方程的实数）。尺规作图局限于加减乘除和开方运算，对于超越数显然是无能为力的。

圆形和正方形有相同的面积 | Credit: Wiki

这下可好，回到化圆为方问题里，由于涉及到超越数（transcendentalnumber）π，传统的尺规作图和折纸作图必定无法解决，持续了上千年的争论终于尘埃落定。

如果真要解决这一问题，我们需要借助更加“先进”的阿基米德螺线才行了。

正多边形问题

另一个有意思的话题是关于正多边形的。

用传统尺规作图的办法，我们可以画出标准的正三角形，正方形，正五边形，正六边形，正八边形等等。Rex还隐约记得初中时候，数学老师曾说他的朋友研究出了尺规作出正十七边形的办法，查阅资料之后却发现，早在1796年，高斯就已经给出了正十七边形的尺规作图步骤，还顺带证明了哪些正多边形可以用尺规作图完成。不得不叫人感叹数学王子的伟大。

正十七边形尺规作图简图

根据证明，角度刁钻的正七边形是没有办法用尺规作图画出来的，因为它的边长涉及到常数sin(π/7)，和一样，这是一个需要用三次方根来表示的数。那么，折纸作图可以解决这一难题吗？答案是肯定的。

虽然折纸作图可以表达出三次方根的数，但是要想得到完整的正七边形也绝非易事。折纸的过程之复杂，简直是Rex这种手残党的噩梦，大概我把纸折烂了也得不到那个完美的正七边形吧。

下面贴上折正七边形的步骤，勇士们可以自行尝试。

正七边形的折法

这里还有简单的，其他正多边形的折法：

正六边形的折法

正五边形的折法

正三角形的折法

你能给出它们的证明吗？

看一段折纸gif放松一下~

##话外音：

高斯证明，尺规作图只能作出正n边形，这里n是费马质数，即n＝2^(2^k) 1。

要知道，17之后的费马质数就是257和65537，历史上也真的有人用尺规作出了正257边形，步骤写出来有80多页；而正65537边形，一位叫做 Johann Gustav Hermes 的人花了10年时间才首次完成了作图步骤，其手稿加起来共有200余页。

参考资料：

https://mathigon.org/downloads/origami.pdf

http://www.matrix67.com/blog/archives/4152

https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics_of_paper_folding#Huzita–Hatori_axioms

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