不规则图形面积的计算方法（整体分析在面积计算中的巧妙应用）

这节课我们来学习《整体分析》在面积计算中的巧妙应用，在小学数学中有一些求面积问题，直接计算会非常繁琐，这时就需要用“整体分析”法来解答。一起来看下面这几个例题：

【例1】下图是一个任意三角形，以它的三个顶点为圆心画三个半径为2厘米的小圆。求图中三个阴影部分的面积之和是多少?

解题分析：这个题目相信很多同学都是见过的，因为不知道三角形的三个角各是多少度，也就无法分别计算出图中三个阴影部分(即三个扇形)的面积。但是，我们都知道所有三角形的三个内角的度数之和都是180度，那么把图中这三个半径相等的阴影扇形“拼”在一起，就得到一个圆心角为“180度”的扇形。问题迎刃而解。其面积为：

3.14×2²÷2＝6.28(平方厘米)

答：图中阴影面积为6.28平方厘米

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【例2】平行四边形ABCD的面积是240平方厘米。如果在平行四边形内任意取一点O，连结AO、BO、CO和DO。三角形AOD与三角形BOC面积的一半，加上三角形AOB与三角形COD面积的1/3，得到多少平方厘米?

解题分析：因为“O”点是任意选取的，所以图中四个三角形的面积是不可能分别求出来的。本题要想解决，也只有通过“整体分析”法来推算。

过“O”点作AD和BC的平行线EF(见下图)。

这时，我们可以看出：三角形BOC与平行四边形BCFE同底、等高，所以三角形BOC的面积是平行四边形BCFE面积的一半。

同样道理，三角形AOD的面积也是平行四边形AEFD面积的一半。进而可得，三角形AOD与三角形BOC的面积之和正好是大平行四边形ABCD面积的一半。

同样，三角形AOB与三角形COD的面积之和也正好是大平行四边形ABCD面积的一半。

像这样从整体上抓住它们之间的联系，问题就变得格外简单了。列式如下：

240×1/2×1/2 240×1/2×1/3

＝60 40

＝100平方厘米)

答：得到的面积是100平方厘米。

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【例3】已知一个四边形的两条边的长度和它的三个角的度数(如图)，那么，这个四边形的面积是多少平方厘米?

解题分析：这道题目所给的条件看上去的确不算少，有的同学想采用化整为零的方法去解答，但化来化去，越化越复杂。怎样快速准确解答这道题目呢?其实，再简单不过了！

让我把这个四边形向上“延伸”(见下图)。

这时我们可以清楚地看出：补充而成的图形EBC是一个大的直角三角形，因为角C是45度角，所以角E也是45度。进而可知EB等于BC，也是7厘米。大三角形EBC的面积为:7×7÷2＝24.5(平方厘米)。

更为有趣的是，“补”充上去的小三角形EAD也是一个等腰直角三角形，它的面积为：3×3÷2＝4.5(平方厘米)。

原四边形的面积为：24.5-4.5＝20(平方厘米)

答：这个四边形的面积为20平方厘米。

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【例4】已知图中ABCD是一个长方形，它的面积是770平方厘米，又知图中阴影部分的面积之和是451平方厘米。那么四边形EFGO的面积是多少平方厘米?

解题分析：这个图形被分割得七零八落，要想分别求出每一小块的面积各是多少，显然是不可能的。因此必须进行整体分析。

在解题之前，我们必须明白两点：1.长方形的两条对角线AC和BD把长方形平均分成了四份，即：三角形AOD、AOB、BOC和COD的面积都为长方形ABCD的1/4；2.不管“F”点在BC边的什么位置上，三角形AFD的面积都为长方形面积的1/2，同时三角形ABR与三角形DCF的面积之和也为长方形面积的1/2。

为了叙述方便，我们把图形的各个部分用数字来代表(见下图)：

三角形AOD的面积：770×1/4＝192.5(平方厘米)

三角形①与②的和：451－192.5＝258.5(平方厘米);

因为：① ③＝② ④＝770×1/4

所以：③ ④＝770×1/4×2－①－②

＝385－258.5

＝126.5(平方厘米)

又因为：三角形AFD的面积为770×1/2平方厘米，

所以：⑤＝770×1/2－770×1/4－(③ ④)

＝385－192.5－126.5

＝66(平方厘米)。

这道题目的解法还有好几种，但它们的共同点是把①与②、③与④分别合在一起去推算，而不能把它分开来。

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【例5】正方形ABCD的对角线BD，被过A、C的两条平行线分成长都是1厘米的三段(如下图)：BE＝EF＝FD＝1厘米。求这个正方形ABCD的面积是多少平方厘米?

解题分析：这个题目求正方形的面积，但是没有直接告诉正方形的边长。题中告诉BE＝EF＝FD＝1厘米，这样可以知道对角线BD＝3厘米，同理另一条对角线AC＝3厘米，而且我们知道正方形的两条对角线是相互垂直，而且平分。所以正方形的面积是：

3÷2×(3÷2)×1/2×4＝4.5平方厘米

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最后我们留一个思考题，如果有做出来的同学请把答案发上来。

下图中ABCD和CEFG分别是边长为5厘米和3厘米的两个正方形。图中四边形DHEL的面积是多少平方厘米?

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