实数的六个定理（算术公理系统之）

减法的定义，以及负0的加入，让原本庸常的事情骤然变得有意思起来，将正整数与负整数两列并为一列，便能见出端倪：

…、－3、－2、－1、－0 | 0、1、2、3、…

此列数中最惹人注意的就是－0和0紧密挨在一起，它俩是什么关系?又如何来描述这种关系?

数有大小和先后两个基本属性，比如物理学中的波粒二象性，大小和先后堪称数的“基序二象性”，大小为基，先后为序，基序两性是所有数生而具有的不可灭失的属性。现将所有整数按大小先后依次排列，便让数的基序性直观地呈现出来。再将每个整数所占据的位置用一条直线串联起来，便得到一条标注了整数的线，姑且叫它数线吧，整数有无穷多，则数线有无限长。如下图：

数线本质上是数的基序两性在空间中展开，有一个量即距离，可以量化地来描述数的基序性。通常把两个数的差的绝对值称为这两个数之间的距离，记作|x－y|。由于绝对值总是大于等于0，即|x－y|≥0，针对这个差值的大小做进一步研究，则有相距甚远、相邻和连续。相距甚远就是距离远大于0，没什么好说的，重点讨论相邻和连续。

相邻就是两个元素之间没有同类元素，不相邻即为相间。比如指着数线，我们说－0与0相邻，0与1相邻，2与3相邻。虽然0与1之间距离为1，说明它们之间还有其他数，但肯定不是整数，而0与1是整数，两者之间没有隔着整数，所以0与1相邻。0与2都是整数，其间隔着另一个整数1，所以不能说0与2相邻，只能说0与2相间。

连续就是两个元素之间没有任何其他元素，不连续即为离散，两个数连续就是两个数之间的距离为0。由于|－0－0|＝0，所以－0与0不仅相邻，而且连续。可见相邻是靠得很近，连续是靠得更近，近至亲密无间。若是单纯考察直线上的两个点，那么相邻即连续，连续即相邻。

－0与0连续，意味着两数亲密无间，但毕竟是两个数，在给直线上的点做标注时，各自标注各自的点，这两个点相互挨着但不重合。那么数线是应该以0为原点，还是以－0为原点呢?因为直线上的点只有先后没有大小，又因为－0＝0，两个点亲密无间地靠在一起，大体可视为一个点，所以还是按通常的习惯以0为原点。在数线上将－0和0同时标注出来，确实有些突兀，为了简洁美观，一般也只标注0而不标注－0，但切不可因此忘记－0的存在。

数线得以确立的前提假设包括两条。第一条，数线中的直线是由点一个一个前后相接而成，任意相邻两点之间的距离为0，并且没有重叠，假设点没有重叠会省去许多无谓的讨论。第二条，数线上的一个点对应着一个数，一个数也对应着一个点，即数与点之间一一对应。

虽然确立了数与点一一对应，我们可以参照数来理解点，也可以参照点来理解数，但并不意味着点即是数，数即是点，点与数之间仍具有根本区别。点没有大小，只有先后，一个点就代表直线上的一个位置；而数既有大小又有先后，将它与点一一对应起来，并用两个数之间的大小差异即距离，来衡量两个点之间的位置关系，这个神操作，会推演出一系列意想不到的结论。

当距离为0时，表明两个点已经靠在一起，亲密而无间，但这两个点并没有重叠为一个点，因为前提假设即是直线上的点一个挨着一个不出现重叠。不重叠，说明这两点之间的空间差异并未消失，仍然占据着两个不同的位置。但神奇的是，距离为0的两个点所对应的两个数，这两个数的大小差异已经消失了。a－b＝0，则a＝b；a＝b，则a、b一样大，不能再区分谁大谁小。此时两点的距离为0正好对应着两数的距离为0，问题来了，仍以－0与0为例，－0＝0，两数相等，即两数在大小上没有差异。直线上的点从左往右排，在左为先，在右为后，为先的数小，为后的数大，－0明显在左，0明显在右，两数在先后上存在差异，理当有－0＜0才对啊！根据三歧性，数与数之间要么等于，要么小于，要么大于，三者必居其一，那么究竟是－0＝0对，还是－0＜0对呢?

连续还能进一步细分，分为贴合与重合。贴合是指连续的两个元素，各自占有各自的空间，只是边缘靠在一起；重合即重叠，是指两个元素突破边缘，继续靠近，直至完全占据同一个空间。前者是左邻右里，后者是鸠鹊同巢。或者说，贴合是距离为1个0，而重合是距离为0个0，听起来有点绕，还是看图吧：

直线上点的连续便是贴合式的连续，不能是重合式的，否则连续地点就永远叠加在一个点，抻不出有长度的线。那么与点相对应的数也应该是贴合式的连续，什么时候才会用到重合呢?当一个数自身与自身相等，即a＝a，这时用重合；当相异的两个数相等，即a＝b，这时用贴合。

一个数自身与自身相等，这个数的大小与先后都相等，只有a＝a，绝没有a＜a（或者a＞a）；相异的两个数相等，这两个数的大小相等，但它们的先后并不相等，于是a＝b的同时有a＜b（或者a＞b），这时称相异的两个数在连续时出现了相等与不相等的叠加态。由于数是大小与先后的复合，具有基序二象性，二象性在连续这个极端情况下就表现为相等与不相等的叠加。

相等了就不能再有不相等，不相等了就不能再有相等，相互矛盾的两种性质怎么会叠加并同时出现呢?如果对此感觉不可思议，难以理解，可以参考量子力学。量子力学中有一只著名的小怪兽——“薛定谔的猫”，在打开盒子察看之前，它便是一只既死又活的猫，既死又活，即为死与活两种截然相反的生命状态的叠加。只有在打开盒子的一刹那，它才确定地向我们展示是死是活。对于连续的两个数来说大概也是这样，在发生连续断裂之前，它们就处在一种既相等又不相等的叠加态，一旦断裂，就确定地表现为不相等。“薛定谔的猫”如何既死又活，很考验人的想象力；数如何即相等又不相等，同样考验人的想象力。

人的想象力

－0与0是相异的两个数，所以它们连续时，是相等与不相等的叠加，－0＝0对，同时－0＜0也对。叠加态为我们开了一个巨大的脑洞，进入这个脑洞可以继续更为有趣地推演：

当ab两点连续，a＜b，意味着a在前，b在后，a、b之间相距一个点，点没有大小，一个点即一个0，所以a、b之间的距离b－a＝0＝0×1；

在a、b之间插入一个点，即a p1 b三点连续，仍然a＜b，a、b之间相距两个点，两个点即两个0，所以a、b之间的距离b－a＝0＋0＝0×2；

再插入一个点，即a p1 p2 b四点连续，仍然a＜b，a、b之间相距三个点，三个点即三个0，所以a、b之间的距离b－a＝0＋0＋0＝0×3；

再插入一个点，即a p1 p2 p3 b五点连续，仍然a＜b，a、b之间相距四个点，四个点即四个0，所以a、b之间的距离b－a＝0＋0＋0＋0＝0×4；

a＜b，说明a、b两点之间有距离，只是这个距离要由若干个点来衡量，而点没有大小，正好对应到数字0，于是计量若干个点的距离即为计算若干个0之和。假设a、b之间包含点的数量为n（n≥1），那么a、b之间的距离就是（n－1）个0之和。当n＝1，则a、b指的是同一个数，一个数自身与自身的距离为0个0；当n＝2，则a、b是相邻且连续的两个数，其距离为1个0；当n＝3，则a、b之间的距离为2个0，……，以至无穷。

根据描述数字0运算性质的0乘公理，0×x＝0，0乘任何数等于0，只要n不是无穷大，（n－1）个0之和就总是收敛于0，即0×（n－1）＝0。收敛于0就意味着a＝b，说明有穷个点顺次连续，依然存在两点连续时的叠加态，a＝b，同时a＜b。由此可见，两点或多点连续之所以会产生叠加态，其根本原因在于0的特殊运算性质，即0具有乘法收敛性。

另外还说明有穷个点连续，并不能构建出有长度的线，但是一个点与两个点毕竟有区别，两个点与三个点毕竟有区别，当我们说线是由点构成的时候，当我们细致到一个点一个点来考察线的时候，这种区别不能被忽略。于是当我们说一条没有长度的线，或者两点之间的距离为0时，需要特别小心了，这条没有长度的线上可能有三个点，也可能有五个点，这样的线在现实中无法分辨；两点之间的距离为0，可能是相距三个点，也可能是相距五个点，这样的距离在现实中也无法区别。在现实中无法分辨或者区别，并不意味着在数学上就可以视而不见。

那么要多少个点才能构建出有长度的线呢?——唯有无穷个点的聚合才能构建出有长度的线，一条直线上有无穷个点，直线上任意一段有长度的线也都包含无穷个点。有穷与无穷是有长度与没长度的分界点。

回到最初的前提假设，直线上的一个点要对应一个数，那么从某个点开始，这个点标记为0，以此为原点，然后从左往右，紧挨着0点的数是(0＋0)，紧挨着(0＋0)点的数是(0＋0＋0)，如此不断进行下去。看下面的示意图：

点是一个挨着一个排列，以算术的方式表示即为：

，任意相邻两个点之间的距离为一个0，距离为0即为相等，于是亦可以表示为：

（其中符号“≤”表示小于或者等于，逻辑上是包含小于并且等于的）

按理说，与之对应的数也应该是一个挨着一个排列，即为：

，任意相邻两个数之间的距离为一个0，距离为0即为相等，于是亦可以表示为：

这列数已经全然不是整数，而是接下来要讨论的实数。此刻数的概念，从整数一步跨到实数，中间越过了有理数和无理数，这个跨度可谓相当大，不少人会就此蒙圈。但问题是这一步跨得过去吗?——数字0与数字(0＋0)有区别吗?数字(0＋0)与数字(0＋0＋0)有区别吗? 相差一个0和相差两个0就能是两个不同的数吗?

只要我们坚信一个点对应着一个数，一个不同的点对应着一个不同的数，我们就必须坚信有区别，0是一个数，(0＋0)是另外一个数，(0＋0＋0)又是另外一个数。0、 (0＋0)和(0＋0＋0)，是三个不同的数，但各自运算最终都收敛到0，说明这三个数相等，相等意味着大小上没有差别，没有差别就不能被区分。

像(0＋0)与(0＋0＋0)这样既是不同的数，又不能在大小上跟0相区分，就统称为不可区分数，与之相对的是可区分数，0是一个可区分数。(0＋0)是0后面紧挨着的一个数，还记得－0嘛，－0就是(0－0)，正是0前面紧挨着的一个数。由此知道，与0相邻的两个数分别是(0－0)和(0＋0)，那么与1相邻的两个数呢?是(1－0)和(1＋0)。在此之前，我们对相邻实数是没有概念的，所有人都知道数字0，但紧挨着0的下一个数是多少，却没人知道，而且是自打女娲补天、上帝造人以来就没人知道。

然后不停地加下去，遇一个点加一个0，遇一个点加一个0，如此操作，可以保证有一个点就必然对应有一个数，既不重复也无遗漏。做下来的结果就是有一个数必对应一个点，数与点一一对应。一直以来人们苦苦追寻的实数连续性，得来居然不费吹灰之力。

由于有穷个0之和恒等于0，可以想见每个可区分数两侧都接连着许许多多的不可区分数。在“有穷个0”的范围内，许许多多的不可区分数都收敛到一个可区分数身上，这场面可以形象地描述为不可区分数在向可区分数收缩，仿佛一只小小的章鱼长着两条长长的手腕，数的收缩不过是小章鱼在肆意摆弄自己的长手腕。

一直加到结果不再收敛到一个可区分数，而是收敛到下一个可区分数为止，然后从这个可区分数开始加0，不停地加下去，直到再下一个可区分数。如此往复，以至无穷。整个过程都是在加0，没有干其他的，但是随着可区分数的一个一个出现，这些所加的0会分别收敛到不同的可区分数。这是数比点有意思的地方，点比较死板，点到哪就固定在哪，不像数还有收敛一说，因为收敛，使得所有不可区分数可以隐藏到可区分数身后，不为人所知。

像点一样，无穷多个点才能聚合出有长度的线，数从一个可区分数不断加0，加到另一个可区分数至少也需要无穷个0。我们可以把等于0的距离称为魔幻距离，而把大于0的距离称为现实距离。魔幻距离是数与数产生融合的距离，而现实距离则是数与数产生分别的距离。有穷与无穷便是魔幻与现实的分界点。

假如我们在直线上的某一点处标注了0，然后在这个基础上加无穷个0，就能知道数字1的位置吗?——不可能知道。根据0积公理，0×∞＝x，无穷个0之和可以等于任何数，可以是0，也可以是1，根据这个公式我们只有知道结果是1，然后倒推出它必然是无穷个0之和。因为直线上任意一段有长度的线都包含无穷个点，皆是无穷个0之和，那么只需在0点右侧任取一点标注为1，使得1点到0点的距离是一段大于0的现实距离即可。然后以这段距离为尺子，在直线上依次标注出其他所有整数点的位置。于是得到了一条基本可用的数线。

数线上除了标注整数的点，尚有无穷无尽的点没有标注，它们对应着无穷无尽的数，不由得好奇这么多的数，不是整数会是些什么数呢?有了数线，知道点的连续和数的连续，并清楚数的叠加态，借用“戴德金分割”这个绝妙的方法，可以略为瞥一眼数线上还有哪些数。

有理数如何分布不清楚，但整数的分布情况我们很清楚，前面举例说，以0、1的中点为分割点，对整数进行分割，得到分割点p＝1/2，A≤0，B≥1，1/2既不在A中、也不在B中，所以它不是整数，而是有理数。我们因此说，通过“戴德金分割”从整数分割出了有理数。其实这不对，严格来说，对整数进行分割可以分割出新数，只是这个新数不是有理数，而是“非整数”。非整数就意味着可以是有理数，也可以是无理数。在0和1之间有着无穷多的有理数，也有着无穷多的无理数，任意一刀砍下去，我们不知道砍到的究竟是有理数还是无理数，因为A、B断开的结果是一样的，都是A≤0，B≥1。单凭这个结果，我们不能推断出砍到的是什么数。

之所以能够精确地砍出1/2，那是因为通过计算，我们事先知道它的确切位置，然后指哪砍哪，才砍出了所谓的有理数。如果不知道呢，单纯地使用“戴德金分割”在0、1之间乱砍，对于砍出来的数，即分割点p，我们只能大概地知道它比0要大，比1要小，可能是有理数，也可能是无理数，然后就没有更多了。

借鉴整数的分割，由整数分割出新数是先找到相邻的两个整数，然后在这两个数之间落刀。那么对有理数进行分割，要分割出一个新数无理数，是不是也可以先找到两个相邻的有理数，然后通过这两个有理数构造出一个无理数呢?——当然，这里要找的相邻有理数不是2与(2＋0)这种收敛后相等的有理数，而是作为两个可区分数的有理数，它们之间只包含无理数，就像整数0和1之间只有小数的情况那样。能找到这样的两个有理数吗?比如就在0附近找，找一个比0大，又与0相邻的有理数，是多少呢?

考察实数的连续性分布，0是一个可区分数，在右侧紧挨着0的另一个可区分数是0＋(d－0)，这个数是有理数还是无理数，不知道，再往后的可区分数是有理数还是无理数，更是不知道。但可以肯定一件事，一定存在一个与0相邻的有理数，只是它与0相距多远，我们不知道。

“戴德金分割”对整数进行分割，可以确证非整数的存在，但并不能定义出具体的有理数；同样的，对有理数进行分割，可以确证无理数的存在，但也不能定义出具体的无理数。这样看来，戴德金的梦想可能要破灭了。

正统的尺规作图，要求使用不带刻度的直尺和圆规，而“戴德金分割”是在使用带刻度的直尺和圆规作图，它必须在标记了数的直线上进行分割。试想一下我们将数线上所有的数都抹掉，剩下一条光杆直线给它分割，任凭怎么分，最后分得的结果都一样，如同用白颜色的笔在白板上作画，再怎么画，作品都是白板一块。所以数的存在，以及数的分布，是“戴德金分割”得以奏效的先决条件，或者说有怎样的数，以及数的分布，就会有怎样的分割结果。那么所谓分割出新数，可能只是个笑话，在明白连续之真意后，我们就可以人为地制造连续。比如将所有正整数按连续的方式重新排列，之前我们熟悉的正整数是相邻两个数之间的距离为1，写出来是这样一列数：

0＜1＜2＜3＜4＜5＜……

按连续的方式重新排列，使得相邻两个数之间的距离为一个0，则变成这样了：

0＝1＝2＝3＝4＝5＝……

务必不要先入为主地以为这是一个错误的式子，看下面的示意图就能清楚：

正整数还是原来的正整数，只是排列方式改变了，所有正整数像直线上的点一样一个挨着一个排列，从而构造出一个连续的正整数序列。在这个序列上进行分割，不管怎么分割，都分割不出像1/2这样的有理数，像根号2这样的无理数，因为连续了，不会有新数产生。由此分明可以看出，连续不是分割出来的，而是排列出来的。

连续，是一个古老而深刻的命题，众多智者先贤对此有过思考和讨论，距离为0即为连续，估计是有史以来最为简洁的描述。而0有着一些非常奇特的算术性质，遵从这些性质，可以推演出一个由可区分数与不可区分数构建的实数系统，这个系统与通常理解的实数系统有很大的不同，它的基础是0与∞。没有0，我们就没法理解点，没有∞，就没法理解点如何构建出直线；没有0和∞，也就没有可区分数与不可区分数的概念，没有这两个概念，我们就不能细致入微地一个数一个数地去认知实数。将0、∞，以及连续打通来理解，很可能就是一种新的世界观，它不同于自亚里士多德以来人们所沿袭的世界观。

作者：灵渠水怪链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/369323156来源：知乎著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

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