德布罗意波的计算公式推导（狭路相逢的同行）

1945年意大利物理学家、数学家吉罗拉莫·卡尔达诺出版了一本《大衍术或代数学的规则》在数学界掀起了一场轩然大波。在书的开头，介绍了标准的线性和二次方程的解法，然后是当时的未知领域，三次和4次代数方程求解的完整过程。这本书自问世，影响了16世纪整个欧洲数学的发展。直到韦达和笛卡尔的出现，这本书的地位才被取代。《大衍术》刚刚出版，一位意大利数学家塔尔塔利亚开始攻击卡尔达诺。尽管卡尔达诺在书中的几个场合声明，书中一些基本的三次方程解法应归功于塔尔塔利亚。而塔尔塔利亚坚持说，当他向卡尔达诺展示它的解法时，卡尔达诺作为一个基督徒和绅士，信誓旦旦的承诺会在塔尔塔利亚的书之后出版自己的书。

欧洲文艺复兴开始于14世纪，是沉睡了1000年的欧洲智慧的苏醒和重生。临近15世纪末代数学里出现了数学史上第1个激动人心的时刻。早在古希腊，阿拉伯和印度数学家们已经可以解线性方程和二次方程。

阿拉伯数学家早在9世纪就针对某些三次方程，给出了几何解法，甚至是猜想。直到到1510年到1515年之间，博洛尼亚大学的数学教授皮奥内·德尔·费罗提出了第1个三次方程的代数学解法，一次真正的突破。他发明了一个解决“压缩的三次方程”的代数公式。

16世纪初，不是一个热衷发表的年代，没有同行评议的期刊，更没有互联网。如果谁能有个新的发现，会千方百计的设法将其严格保密，只有在确实有利时才会公开的使用。是不是很那理解！

而且当时数学上流行公开的挑战，挑战的结果可是直接关系到数学上的地位和名望。德尔·费罗在1526年去世，他将“压缩的三次方程”的解法论文传给了他的女婿安尼贝勒·德拉·纳夫，以及另一个学生安东尼奥·玛丽亚·费尔。

费尔如获至宝，凭借着“秘籍”回到家乡威尼斯，成为了一个数学老师，并高调的放出声：他在解三次方程方面有特殊才能。在不经意间听到另一个威尼斯的数学老师塔尔塔利亚也有这种本事。要么说同行是冤家呢！于是费尔向塔尔塔利亚发出公开的挑战。

塔尔塔利亚

1499年，塔尔塔利亚出生在意大利北部的布雷西亚，其父亲是一名邮差，家境贫寒，所以数学和科学知识都是靠自学。塔尔塔利亚在威尼斯定居后，以教数学为生。那时的数学老师，通过参加公开的论战和辩论，竭尽所能在公众面前保住声誉。

塔尔塔利亚

塔尔塔利亚曾暗示一位同事他已经解决了形如

的方程，这对费尔形成一个直接的挑战。1535年初，费尔公开向塔尔塔利亚挑战。按照他们的协议：每个人向对方出30道题，30天后，谁解的题多，谁就是胜利者。不用担心，没人能得到帮助和耍老千。

没人知道在论战指出塔利亚到底知道多少，但在1535年2月13日的晚上，他解决了两种形式的常数三次方程，这是一个巨大的成功。

这意味着他能解决费尔的全部题目。知己知彼，百战不殆。另一方面，塔尔塔利亚充分意识到费尔只能解一种三次方程。结果可想而知，塔尔塔利亚大获全胜，费尔在公众面前销声匿迹。

获胜的塔尔塔利亚，名声大噪，学生数量急剧增长。塔尔塔利亚选择严格保密他的新方法，以确保他在代数学的争端中保持常胜。众所周知，数学是个有实际用处的工具。当时西方列强在争夺意大利，将数学应用于弹道学是一个热门课题，塔尔塔利亚也投身其中。1537年，塔尔塔利亚不再关注三次方程，而去钻研弹道学，并出版了一本书《新科学》。正在前途一片光明的时候，另一个危险的对手吉罗拉莫·卡尔达诺杀了进来。

文艺复兴时期“多才多艺”的男人，卡尔达诺

卡尔达诺1501年生于帕维亚，父亲教他初步的数学知识，12岁以后，学习欧几里得几何。卡尔达诺的父亲是受过良好教育的律师和几何学讲师。卡尔达诺的父亲希望他学习法律，尽管在数学上有过人的天赋，却想以医学为业。19岁时进入帕维亚大学，21岁时开始参加有关欧几里得几何的公开辩论和演讲。后转学到帕多瓦大学，25岁时在那里获得医学学位。

卡尔达诺

卡尔达诺，性情急躁，报复心强，容易发怒，经常卷入严重的争吵中。从1524年到1547年，他官司缠身，更重要的是全都胜诉。不难想象，如果能像他父亲期望的那样学习法律，想必也会成为一名优秀的法官或律师。

在医学界，卡尔达诺声誉日隆。16世纪30年代，他可能已成为意大利北部最受欢迎的医生。1537年，被邀请在帕维亚大学教授医学，但被他拒绝。真是有性格，任性呀！

卡尔达诺之所以被称为文艺复兴时期的男人，是因为除了在医学，在其他几个迥异的领域成就非凡。比如他还是一个资深的赌徒，出版了非常受欢迎且实用的赌徒手册。其中包括了一些概率方面的先进知识，当然少不了千术。

卡尔达诺出生在一个迷信的家庭，继承了家族的传统。他还为达官显贵们占星。精通数学和天文学的人经常干这事儿。虽然卡尔达诺对他的能力颇感自豪，但这些行当让他陷入各种各样的麻烦当中。聪明反被聪明误。

卡尔达诺的大衍术。使三次方程和4次方程的代数方法为人所知，这是一个巨大的贡献。

导火索

听说塔尔塔利亚战胜了费尔之后，卡尔达诺曾请求塔尔塔利亚，允许在他的书中披露塔尔塔利亚的三次方程解法，他承诺这种解法将完全归功于塔利亚。

塔尔塔利亚随即回复：她正计划自己写一本书，将在书中清楚的说明三次方程解法。但由于还有其他大量的工作要做，并没有说什么时候出版这本书。卡尔达诺并不满足于这个回复，于是不屈不挠的百般恳求。

在留存的信件当中，可以看出两个人的关系，时而紧张，时而轻松。卡尔达诺称塔尔塔利亚贪婪并吝于助人。比如猛烈地批评塔尔塔利亚弹道学著作中的一些成果，塔尔塔利亚当然会亮剑接招，做出激烈的回复。两人都不是善茬，真真是棋逢对手。

卡尔达诺有计划、有预谋的去达到自己的目的。作为计划的一部分，卡尔达诺友好的邀请塔尔塔利亚到家中做客，并不失时机的指出，他还会有更多的表示。卡尔达诺声称他非常有兴趣解决纯粹的学术争端，最终他的诡计得逞，他以一个大人物阿方索·德·阿瓦洛斯的名义，给塔尔塔利亚写信道：“必须首先声明，我很崇敬你，关于弹道学的书一问世，我就买了一本，送了一本给侯爵先生(德·阿瓦洛斯)。”而德·阿瓦洛斯是西班牙人总督，帝国军队首领，是当时意大利最具有影响力的人物之一。

在1539年3月13日的另一封信中，卡尔达诺写道：德·阿瓦洛斯急切的命令我，以他的名义立即写这封信给你，建议你见信后务必到米兰来，因为他很想与你谈谈。塔尔塔利亚非常清楚的意识到与德·阿瓦洛斯的友谊会对他有很大的帮助，于是回复：尽管我不愿意去那边，但我会去的。

不出所料，当塔尔塔利亚到米兰的时候，德·阿瓦洛斯不在。很难说这是故意欺骗还是显贵日程匆忙？如果是欺骗，这将是一个很复杂和危险的方案，因为拿着邀请函的塔尔塔利亚，如果直接给德·阿瓦洛斯写信的话，卡尔达诺就是搬石头砸了自己的脚。似乎卡尔达诺也能做出这种聪明反被聪明误的事情。

卡尔达诺设法从塔尔塔利亚那里套出“三次方程解法”，塔尔塔利亚不会傻到拱手交出。他给卡尔达诺的是解决压缩了的方程规则，并且以加密了的诗句的形式给出。虽然后来他清楚的向卡尔达诺做出了解释。

1539年9月，卡尔达诺的《通用算术实践》出版，书中没有塔尔塔利亚的解法。塔尔塔利亚对书中的错误给出了一些解释。事实上，他是在取笑卡尔达诺的书。接下来的一段时间，卡尔达诺在酝酿另一本书《大衍术》，书中收录了很多基础成果。他清楚的意识到三次方程的解法对该书的成功与否意义重大。所以他和能干的助手卢多维科·费拉里，在一起花了数年时间揣摩出塔尔塔利亚那些诗句的意思，并进行了拓展。

大衍术

关于三次方程的内容在第11章中出现，这一章的名字是“关于立方加一次方等于常数”。塔尔塔利亚给卡尔达诺的法则涵盖了三次方程的三个基本形式。

当时的数学家不会用负系数，没有我们现在所用的代数符号，所以没有采用简单、通用的形式：

卡尔达诺的《大衍术》运用了大量的几何知识。正如威廉·顿汉姆在他的《天才之旅》中所说：“他的证明纯粹是几何的，包括了用文字书写的立方体和它们的体积。实际上，当我们回想一下当时代数符号落后的情形，以及在文艺复兴时期数学家心目中古希腊几何学的崇高地位，我们就不会为之吃惊了。”

在《大衍术》每一章中，卡尔达诺首先给出一个特别数值三次方程的几何说明，再写出解决该方程的一般方法，然后举出一道或多道例题，并应用法则去解它。因为用0和负数做系数还没有出现，卡尔达诺只能详细说明13种不同的三次方程，每种都只用正系数，且独立成章。然而几何解法拐弯抹角且冗长，使人人费解难懂。

神圣的诺言

毫无疑问，在这个领域卡尔达诺的贡献巨大，但对塔尔塔利亚似乎有点背信弃义，假如他们之间有一个保密的神圣许诺的话！基于塔尔塔利亚的声明，是存在这样一个承诺的。出版《大衍术》后第2年，塔尔塔利亚出版了《各种问题和发明》，书中保留了他们会面的详细记录，以及卡尔达诺给他的承诺：“我按着神圣的福音书起誓，以一个绅士的名义保证，不仅在你告诉我你的发现之后，永不出版它；而且我以一个真正的基督徒的名义承诺，保证把它们当密码一样潜藏在心里，即使在我死后，没有人能够理解他们。”

有人指出一个事实：卡尔达诺和塔尔塔利亚会面时，卡尔达诺的秘书和助手卢多维科·费拉里也在场，费拉里后来振振有词的赌咒说，卡尔达诺从来没有发过那样的誓。确实没人能否定塔尔塔利亚会对会面记录做出歪曲修改，更何况是盛怒之下的塔尔塔利亚。

《大衍术》出版6年后，卡尔达诺和弗拉里听说另有他人拥有三次方程的解法，于是在1543年来到博洛尼亚，拜访他们的同道安妮贝勒·德拉·纳夫。在那里，他们被允许查看西皮奥内·德尔·费罗的手稿，由此他们得知，德尔·费罗才是最早用代数方法解决此类方程的人，而不是塔尔塔利亚。基于此他们认为：塔尔塔利亚不是这种方法的原创者，即使卡尔达诺曾立下誓言，也是一个无效的誓言。

尽管如此，卡尔达诺在宣布自己发现三次方程求解法则的问题上很谨慎。在三个地方，他引用了前人在解三次方程上的成果。在第1章开始不久，他写道：“在我们的时代，博洛尼亚的西皮奥内·德尔·费罗已经解决了三次方加一次方等于常数的情况，这是个了不起的、令人佩服的成就。”

在第11章开头写道，塔尔塔利亚在我的恳求下，把解法给了我。借助这个法则的帮助，我找到了实证，这确实是一件困难的事。

在秘书兼助手卢多维科·费拉里的帮助下，以开始使用的方法为踏脚石，通过运用恰当的代入法，将它们变成我们熟知的形式，找到了三种其他三次方程的解法。在费拉里的再次帮助下，卡尔达诺也展示了怎样以这些三次方程解法为基础去寻找4次方程的解法。并且卡尔达诺指出，三次方程应该有三个根。

战火的延续

尽管得到了卡尔达诺的承认，塔尔塔利亚也还是怒火中烧。塔尔塔利亚在他的书《各种问题和发明》的后半部分，全力批判卡尔达诺和他的《大衍术》。塔尔塔利亚嘲笑卡尔达诺的数学能力，否认曾经给过卡尔达诺承诺，并指控他剽窃。

脾气暴躁的费拉里面对此种情形，于1547年2月10日，以一封挑战书做出了回应，宣称塔尔塔利亚几乎可以在任何科学课题上向他挑战与他辩论。费拉里把挑战书同时传给全意大利的很多学者和显贵，以至于塔尔塔利亚很难拒绝。费拉里的攻势凶猛，认为塔尔塔利亚利用攻击他人来给自己碑立传；在自己书中发表了一个没被承认的证据，证明他的成果被剽窃；具有讽刺意味的是他的书里充满了错误。

对此塔尔塔利亚回应说，他想挑战的是卡尔达诺，而不是他的学生费拉里。尽管如此，塔尔塔利亚只好勉强同意，接受挑战。费拉里坚持：卡尔达诺的解法应归功于德尔·费罗和费尔，因为两人都早于塔尔塔利亚找到三次方程的解法，对此我们无须宣誓保密。在接下来8个月的战斗中，塔尔塔利亚败下阵来，费拉里宣布获胜，而卡尔达诺压根就没有参加。

塔尔塔利亚失去了家乡的职位，而费拉里收到了很多待遇不错的邀请。塔尔塔利亚失去了公众对他的尊重和享有的声誉，痛苦万分的塔尔塔利亚意图将他的痛苦发泄到卡尔卡诺身上。他隐退到圈子的一角，愤怒的等待着，观望着，谋划着。

复仇

塔尔塔利亚设法用一个复杂的计谋，诱使卡尔达诺上当，并利用卡尔达诺与戈那扎加的友情和教皇对占星术的沉溺。戈那扎加是米兰的总督，也是教皇的对手。因此，塔尔塔利亚有个主意：通过巧妙安排，要求卡尔达诺作为一个占星家和医生为教皇服务。可以由此激起某种针对政治密谋的指控。但志得意满的卡尔达诺，不需要任何保护人，以个人原因拒绝了邀请。塔尔塔利亚接着向人们灌输，卡尔达诺想通过拒绝邀请来冒犯教皇陛下。塔尔塔利亚还抄写了一份卡卡尔达诺早年对耶稣的占星分析，意在表明这是在亵渎神明。此时的形势对卡尔达诺很不利，但还不至于击倒卡尔达诺。不会善罢甘休的塔尔塔利亚接着谋划另一场战役。

卡尔达诺事业如日中天，把持着帕维亚大学的医学讲师，这为他赢得了物质财富、写作时间和崇高威望，各种各样的邀请接踵而至。看到风光的对手，塔尔塔利亚努力的克制自己，就像当初卡尔达诺缠着塔尔塔利亚那样，倔强的塔尔塔利亚怎会放过让自己身败名裂的卡尔达诺。正所谓天道循环，出来混迟早是要还的。终于，女神垂青于他。

卡尔达诺在很多方面都很幸运，但他的两个儿子和一个女儿，都在为他铺着走上毁灭的路。得益于卡尔达诺的显赫，他的女儿齐亚拉嫁给了贵族世家。不幸的是，齐亚拉是一个生活放荡的女人。因此不仅被要求解除婚约，还要求卡尔达诺作出赔偿。1557年和1558年两年，卡尔达诺深陷法律和教会的纠纷中难以脱身，曾经光环无比的名声开始损毁。祸不单行，另一个麻烦来了，1557年12月他最喜爱的大儿子简巴蒂斯塔结婚了。卡尔达诺本来期望老大能娶一个好女人，但却选了一个穷困没落人家的女儿，一家人指望卡尔达诺能扶持他们，而卡尔达诺确实在他们身上花费了巨大的资金。两年后。简巴蒂斯塔的妻子死于砒霜中毒，卡尔达诺的儿子以谋杀罪被捕。卡尔达诺竭尽所能证明儿子是无辜的，但简巴蒂斯自己做了坦白交代而被处决。卡尔达诺被笼罩在这个阴影中，同时极大影响了他的神智，开始变得疑神疑鬼，怀疑有人对他图谋不轨。他的另一个酒鬼和赌鬼儿子阿尔多又给他带来了新的麻烦，债台高筑、无法相处。

现在有人图谋把卡尔达诺从帕维亚大学的医学讲习上赶下来，接着就是剥夺他在米兰的更有威望的大学里的席位，1653年，他被取消了讲师资格，还被控犯了好几种罪。

1570年10月13日，塔尔塔利亚给了卡尔达诺双重打击。利用卡尔达诺亲生儿子阿尔多作为告密者，透露卡尔达诺的行踪，塔尔塔利亚把他交给了裁判所。并收集对卡尔达诺的不利证据多年，其中一条“罪证”是，卡尔达诺拒绝教皇的邀请，不去做他的占星家和医生。卡尔卡诺关于耶稣的命盘分析是灾难性的，一些断章取义的说法会被解读为亵渎神明。于是卡尔达诺受审，幸运的是卡尔达诺没被处死，而是被投入监狱。他近乎绝望的寻求帮助，求救被教会汉米尔顿大主教得知，最终得到营救。事情至此，塔尔塔利亚的复仇终于算是成功了。卡尔诺死于1576年，不到一年，塔尔塔利亚也随他而去。

塔尔塔利亚那伟大而富有创意的三次方程的解法，对数学的发展是有着划时代意义的！而卡尔达诺这一“多才多艺”同时包含着种种缺点的欧几里得式的人才，对数学的贡献也是巨大的。暴躁的天才费拉里和卡尔达诺与塔尔塔利亚，在那个时代没能做好充分的合作和交流，在争斗中消耗了彼此，这成就了数学的发展，也可能限制了数学的发展。

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