求最大公约数的四种算法（我是如何用最大公约数）
关于最大公约数有专门的研究。 而在 LeetCode 中虽然没有直接让你求解最大公约数的题目。但是却有一些间接需要你求解最大公约数的题目。
比如：
- 914. 卡牌分组[1]
- 365. 水壶问题[2]
- 1071. 字符串的最大公因子[3]
因此如何求解最大公约数就显得重要了。
如何求最大公约数？定义法
defGCD(a:int,b:int)->int:
smaller=min(a,b)
whilesmaller:
ifa%smaller==0andb%smaller==0:
returnsmaller
smaller-=1
「复杂度分析」
- 时间复杂度：最好的情况是执行一次循环体，最坏的情况是循环到 smaller 为 1，因此总的时间复杂度为 ，其中 N 为 a 和 b 中较小的数。
- 空间复杂度：。
如果我们需要计算 a 和 b 的最大公约数，运用辗转相除法的话。首先，我们先计算出 a 除以 b 的余数 c，把问题转化成求出 b 和 c 的最大公约数；然后计算出 b 除以 c 的余数 d，把问题转化成求出 c 和 d 的最大公约数；再然后计算出 c 除以 d 的余数 e，把问题转化成求出 d 和 e 的最大公约数。..... 以此类推，逐渐把两个较大整数之间的运算转化为两个较小整数之间的运算，直到两个数可以整除为止。
defGCD(a:int,b:int)->int:
returnaifb==0elseGCD(b,a%b)
「复杂度分析」
- 时间复杂度：
- 空间复杂度：空间复杂度取决于递归的深度，因此空间复杂度为
辗转相除法如果 a 和 b 都很大的时候，a % b 性能会较低。在中国，《九章算术》中提到了一种类似辗转相减法的 更相减损术[4]。它的原理是：两个正整数 a 和 b（a>b），它们的最大公约数等于 a-b 的差值 c 和较小数 b 的最大公约数。。
defGCD(a:int,b:int)->int:
ifa==b:
returna
ifa<b:
returnGCD(b-a,a)
returnGCD(a-b,b)
上面的代码会报栈溢出。原因在于如果 a 和 b 相差比较大的话，递归次数会明显增加，要比辗转相除法递归深度增加很多，最坏时间复杂度为 O(max(a, b)))。这个时候我们可以将辗转相除法和更相减损术做一个结合，从而在各种情况都可以获得较好的性能。
形象化解释下面我们对上面的过程进行一个表形象地讲解，实际上这也是教材里面的讲解方式，我只是照搬过来，增加一下自己的理解罢了。我们来通过一个例子来讲解：
假如我们有一块 1680 米 * 640 米 的土地，我们希望讲起分成若干正方形的土地，且我们想让正方形土地的边长尽可能大，我们应该如何设计算法呢？
实际上这正是一个最大公约数的应用场景，我们的目标就是求解 1680 和 640 的最大公约数。
将 1680 米 * 640 米 的土地分割，相当于对将 400 米 * 640 米 的土地进行分割。 为什么呢？ 假如 400 米 * 640 米分割的正方形边长为 x，那么有 640 % x == 0，那么肯定也满足剩下的两块 640 米 * 640 米的。
我们不断进行上面的分割：
直到边长为 80，没有必要进行下去了。
给你三个数字a，b，c，你需要找到第n个（n从0开始）有序序列的值，这个有序序列是由a，b，c的整数倍构成的。
比如：
n=8
a=2
b=5
c=7
由于2，5，7构成的整数倍构成的有序序列为[1,2,4,5,6,7,8,10,12,...]，因此我们需要返回12。
注意：我们约定，有序序列的第一个永远是1。
大家可以通过 这个网站[5] 在线验证。
一个简单的思路是使用堆来做，唯一需要注意的是去重，我们可以使用一个哈希表来记录出现过的数字，以达到去重的目的。
代码：
ssSolution:
defsolve(self,n,a,b,c):
seen=set()
h=[(a,a,1),(b,b,1),(c,c,1)]
heapq.heapify(h)
whileTrue:
cur,base,times=heapq.heappop(h)
ifcurnotinseen:
n-=1
seen.add(cur)
ifn==0:
returncur
heapq.heappush(h,(base*(times 1),base,times 1))
对于此解法不理解的可先看下我之前写的 几乎刷完了力扣所有的堆题，我发现了这些东西。。。（第二弹） [6]
然而这种做法时间复杂度太高，有没有更好的做法呢？
实际上，我们可对搜索空间进行二分。首先思考一个问题，如果给定一个数字 x，那么有序序列中小于等于 x 的值有几个。
答案是 x // a x // b x // c 吗？
❝
// 是地板除
❞
可惜不是的。比如 a = 2, b = 4, n = 4，答案显然不是 4 // 2 4 // 4 = 3，而是 2。这里出错的原因在于 4 被计算了两次，一次是 ，另一次是 。
为了解决这个问题，我们可以通过集合论的知识。
一点点集合知识：
- 如果把有序序列中小于等于 x 的可以被 x 整除，且是 a 的倍数的值构成的集合为 SA，集合大小为 A
- 如果把有序序列中小于等于 x 的可以被 x 整除，且是 b 的倍数的值构成的集合为 SB，集合大小为 B
- 如果把有序序列中小于等于 x 的可以被 x 整除，且是 c 的倍数的值构成的集合为 SC，集合大小为 C
那么最终的答案就是 SA ，SB，SC 构成的大的集合（需要去重）的中的数字的个数，也就是：
问题转化为 A 和 B 集合交集的个数如何求？
❝
A 和 B，B 和 C， A 和 C ，甚至是 A，B，C 的交集求法都是一样的。
❞
实际上， SA 和 SB 的交集个数就是 x // lcm(A, B)，其中 lcm 为 A 和 B 的最小公倍数。而最小公倍数则可以通过最大公约数计算出来：
deflcm(x,y):
returnx*y//gcd(x,y)
接下来就是二分套路了，二分部分看不懂的建议看下我的二分专题[7]。
代码（Python3）
classSolution:
defsolve(self,n,a,b,c):
defgcd(x,y):
ify==0:
returnx
returngcd(y,x%y)
deflcm(x,y):
returnx*y//gcd(x,y)
defpossible(mid):
return(mid//a mid//b mid//c-mid//lcm(a,b)-mid//lcm(b,c)-mid//lcm(a,c) mid//lcm(a,lcm(b,c)))>=n
l,r=1,n*max(a,b,c)
whilel<=r:
mid=(l r)//2
ifpossible(mid):
r=mid-1
else:
l=mid 1
returnl
「复杂度分析」
- 时间复杂度：。
- 空间复杂度：gcd 和 lcm 的递归树深度，基本可忽略不计。
通过这篇文章，我们不仅明白了最大公约数的「概念以及求法」。也形象化地感知到了最大公约数计算的「原理」。最大公约数和最小公倍数是两个相似的概念， 关于最大公约数和最小公倍数的题目在力扣中不算少，大家可以通过「数学标签」找到这些题。更多关于算法中的数学知识，可以参考这篇文章刷算法题必备的数学考点汇总 [8]
❝
这篇文章的第二篇也马上要发布了。
❞
以上就是本文的全部内容了。大家对此有何看法，欢迎给我留言，我有时间都会一一查看回答。更多算法套路可以访问我的 LeetCode 题解仓库：https://github.com/azl397985856/leetcode 。 目前已经 40K star 啦。大家也可以关注我的公众号《力扣加加》带你啃下算法这块硬骨头。
Reference[1]
914. 卡牌分组: https://leetcode-cn.com/problems/x-of-a-kind-in-a-deck-of-cards/solution/python3-zui-da-gong-yue-shu-914-qia-pai-fen-zu-by-/
[2]
365. 水壶问题: https://leetcode-cn.com/problems/water-and-jug-problem/solution/bfszui-da-gong-yue-shu-by-fe-lucifer/
[3]
1071. 字符串的最大公因子: https://leetcode-cn.com/problems/greatest-common-divisor-of-strings/solution/1071-zi-fu-chuan-de-zui-da-gong-yin-zi-zui-da-gong/
[4]
更相减损术: https://zh.wikisource.org/wiki/九章算術#-.7BA.7Czh-hans:.E5.8D.B7.3Bzh-hant:.E5.8D.B7.7D-.E7.AC.AC.E4.B8.80.E3.80.80.E6.96.B9.E7.94.B0.E4.BB.A5.E5.BE.A1.E7.94.B0.E7.96.87.E7.95.8C.E5.9F.9F
[5]
binary search: https://binarysearch.com/problems/Divisible-Numbers
[6]
几乎刷完了力扣所有的堆题，我发现了这些东西。。。（第二弹） : https://lucifer.ren/blog/2021/01/19/heap-2/
[7]
二分专题: https://github.com/azl397985856/leetcode/blob/master/91/binary-search.md
[8]
刷算法题必备的数学考点汇总 : https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzI4MzUxNjI3OA==&mid=2247485590&idx=1&sn=e3f13aa02fed4d4132146e193eb17cdb&chksm=eb88c48fdcff4d99b44d537459396589b8987f89a8c21085a945ca8d5e2b0b140c13aef81d91&token=1223087516&lang=zh_CN#rd
,免责声明：本文仅代表文章作者的个人观点，与本站无关。其原创性、真实性以及文中陈述文字和内容未经本站证实，对本文以及其中全部或者部分内容文字的真实性、完整性和原创性本站不作任何保证或承诺，请读者仅作参考，并自行核实相关内容。文章投诉邮箱：anhduc.ph@yahoo.com
